非Lorenz型的有奇点流的动力学

One of the central problems in differentiable dynamical systems is to describe the dynamics of the flows generated by vector fields. If a vector field contains no singularities, the dynamics are parellel to the dynamics of diffeomorphisms for many cases. But if a vector field contains a singularity, especially the singularity can be accumulated by recurrent regular points, we encounter different nontrivial difficulties. The famous Lorenz attractor is such an example, it contains a singularity which can be accumulated by periodic orbits robustly. There have been many results in the research of dynamics of Lorenz-like systems. However, for non-Lorenz-like singular flows, very little is known. Nevertheless the results we have known for such systems have shown new and charming dynamics. Thus the study of non-Lorenz-like systems should be noticed by mathematicians. We will mainly explore this vast unknown field.

向量场生成的流的动力学是微分动力系统的一个中心议题。系统是否有奇点,其动力学有很大的差异。若系统无奇点，则其动力学大体上平行于微分同胚的理论。但若系统有奇点,特别是若奇点被回复常点所逼近,则其动力学研究具有微分同胚理论无法比拟的困难。著名的Lorenz吸引子就是一例，它有一奇点在扰动下始终被周期轨道所逼进。对Lorenz型系统的研究构成了微分动力系统的一个重要篇章，取得了很多重要结果。但对于奇点被回复常点所逼进的非Lorenz型系统的研究，目前还知之甚少，只有少数几个结果。但这少数几个结果已经展示了值得注意的新的、精彩的动力性态。我们觉得这部分研究应该受到关注。我们将着重探索这片广袤的未知领域。

微分动力系统的一个研究目标是刻画多数系统的多数行为。这起源于Peixoto在上世纪60年代的一个工作：他证明了多数的曲面向量场都是Morse-Smale的。..Peixoto的定理在高维并没有简单直接的推广。Smale首先构造了著名的Smale马蹄来说明高维向量场可能持续具有无穷多双曲周期轨道，从而不可能是Morse-Smale的。..为完成三维向量场的全局刻画，受Lorenz构造的Lorenz吸引子影响，一类被称为几何Lorenz吸引子的动力学行为是一定要被考虑的。几何Lorenz吸引子中虽然含有Smale马蹄，但整体却不像Smale马蹄一样具有一致双曲结构。几何Lorenz吸引子特殊的复杂性机制在于：其含有奇点（也就是向量场的零点），并且这个奇点可以被回复的常点持续地逼近。..几何Lorenz吸引子虽然没有整体一致双曲结构，但也具有很强的双曲性。Morales、Pacifico、Pujals等人用奇异双曲性这个概念来刻画更加一般的具有Lorenz型结构的吸引子。奇点对动力学的影响是这类问题研究的重点。如何刻画几何Lorenz吸引子、奇异双曲吸引子以及更加一般的具有奇点的不变集合的几何与遍历性质成为了微分动力系统的关注点之一。..受此项目资助，申请人主要研究了奇异双曲系统之外的动力学的典型行为、奇异双曲吸引子的遍历性质、弱Palis猜测的向量场形式以及相关问题。在此项目资助下，目前申请人已经发表论文3篇，接受待发表1篇，投稿5篇，另有若干篇即将完成投稿的论文。..所发表论文多集中在动力系统的整体刻画，特别是国际数学联盟前主席Palis提出的一系列相关猜想。所发表论文（含接受）包含法国巴黎的高等师范学院年刊等国际上有影响的学术期刊。