群上的凸分析及其在最优与平衡问题中的应用

Professor Borwein, as the famous expert of nonlinear analysis and optimizition, with his cooperator Doctor Giladi, firstly defined convex sets and functions in groups and monoids and examined some basic properties in 2015. In this project, we intend to investigate systematically the following issues: (1) investigate properties of convex sets in groups and monoids, including convex hull of convex sets, tangent and normal cones, separation theorems of convex sets, and some theory of convex sets in Z^n, etc.; (2) investigate properties of convex functions in groups and monoids, including the epigraph and convex hull of functions, indicator and support functions, the relations between monotonicity and convexity, convex-like functions and their properties, etc.; (3) apply the obtained results to get several new sufficient and necessary conditions and present some new duality results for optima and equilibria defined on groups and monoids; (4) apply the obtained results to investigate deeply some special integer programming. . These investigations can not only enrich, improve and develop the theory, method and technique of convex analysis in groups, but also expand greatly the applicable range of convex analysis. At the same time, these investigations can also provide reference of overcoming some difficulties for integer programming.

著名的非线性分析及优化专家Borwein教授及其合作者Giladi博士于2015年最先定义了群和幺半群上的凸集和凸函数的基本概念，并讨论了它们的一些最基本性质。本项目拟在这个全新框架下系统研究以下问题:（一）研究群和幺半群上凸集的性质，包括凸包、切锥和法锥、凸集分离性定理，以及Z^n上凸集相关理论等；（二）研究群和幺半群上凸函数的性质，包括函数的上方图和凸包、指示函数和支撑函数、单调性和凸性的关系、似凸函数及其性质等；（三）将所得到的结果用于研究定义在群和幺半群上的最优和平衡问题，得到其解的若干充分和必要条件，建立起一些新的对偶理论；（四）应用所得到的结果对一些特殊的整数规划问题做深入的探讨。. 以上问题的研究，不仅可以丰富、完善和发展群上凸分析的理论、方法和技巧，而且可以大大扩展凸分析的应用范围。同时，这些研究也可以为整数规划走出一些困境提供借鉴。

我们主要系统研究了有限维整数空间这个特殊的不可分群上的凸分析的一些基本概念和性质，包括凸集、锥和仿射集的精确公式，以及几个凸集分离定理，并将所得到的结果应用于线性不等式约束的线性整数规划问题，通过应用像空间分析方法研究了其必要和充分最优条件。我们也深入了定义在有限维欧氏空间上的几乎凸函数的性质，将经典凸分析中凸集和凸函数的结果推广到几乎凸集和几乎凸函数的情形。此外，研究了群和半群上凸集和凸函数的其他一些基本性质，并将所得到的结果应用于研究群和半群上凸集间的分离性，得到了几个群和半群上凸集分离定理。同时，将所得到的结果应用于研究定义在群和半群上的优化问题，利用凸集分离定理建立起群和半群上约束凸优化问题的Lagrange鞍点条件和Kuhn-Tucker型充分或必要最优性条件。