具有无穷维像的约束最优与平衡问题及应用研究

The image space approach for constrained extremum problems was first developed by Professor F. Giannessi in 1984. As the winner of the top prize of the 1997 international mathematical programming society-George B. Dantzig prize, Professor S.M. Robinson also pointed out the importance of image space viewpoint and its novelty with respect to many other approaches. However, so far, few papers have been published on the image space analysis for constrained optimization problems or variational inequalities with infinite dimensional image. In this project, we intend to employ the image space approach to investigate these problems: explore the separation of the image space and give equivalent characterizations, obtain some new sufficient and necessary conditions; present new duality, especially the zero duality gap under suitable constraint qualifications on the image space; define new gap functions and prove weak sharp minima for these problems; characterize equilibrium flows or positive flows of streets and provide some new equivalent conditions for specific dynamic traffic equilibria, which are formulated by constrained evolutional variational inequalities, by applying obtained results on constrained optimization problems or variational inequalities with infinite dimensional image.

国际著名优化专家F. Giannessi教授最先于1984年发展了约束极值问题的像空间分析方法。1997年国际数学规划界最高奖-George B. Dantzig奖获得者S.M. Robinson教授也指出这种研究方法的重要性和与经典方法完全不同的新颖性。但是到目前为止，国际上使用像空间分析方法来研究具有无穷维像的约束最优和平衡问题的成果较少。本项目拟系统进行这方面的研究：刻画出其像空间的分离性及等价性条件，得到其有解的若干充分和必要条件；建立起新的对偶理论，特别是在基于像空间的适当约束规格条件下的零对偶间隙问题；定义新的间隙函数，并证明该类问题的弱尖极小性；将研究结果应用到由带约束的发展变分不等式描述的特定的城市动态交通平衡问题，刻画城市道路正流量或平衡流，建立起一些新的等价性条件。

众所周知，交通运输、资源配置、经济金融等许多重要问题与人们生活、学习和工作息息相关。而这些重要问题中许多关键问题的解决最终可以归结为求解带约束的最优与平衡问题。国际著名优化专家F. Giannessi教授最先于1984年发展了约束极值问题的像空间分析方法。1997年国际数学规划界最高奖-George B. Dantzig奖获得者S.M. Robinson教授也指出这种研究方法的重要性和与经典方法完全不同的新颖性。但是到目前为止，国际上使用像空间分析方法来研究具有无穷维像的约束最优和平衡问题的成果较少。本项目系统进行了这方面的研究：使用了拟相对内点和拟内点等工具完整刻画了约束的最优与平衡问题像空间的线性分离性、真分离性以及正则分离性，得到了其等价性刻画，证明了其有解的若干充分和必要条件；在几类广义凸性条件下，得到了约束的最优与平衡问题的像凸性；在较弱条件下，建立起了约束的最优与平衡问题的线性分离性和鞍点条件的等价性；在相当弱的条件下，得到了约束的最优与平衡问题Lagrange型最优性条件，定义了间隙函数，同时也在强单调条件下证明了了约束的最优与平衡问题的误差界结果；将研究结果应用到了由带约束的动态变分不等式描述的特定的城市动态交通平衡问题，深刻刻画了城市道路正流量或平衡流，建立起了一些新的等价性条件。此外，我们还研究了约束最优与平衡问题的单调性、可解性，以及数值算法（包括Douglas-Rachford分裂方法、ADMM方法、半空间投影算法、切超平面投影算法、次梯度外梯度投影算法、并行预解算法等）。上述问题的研究不仅可以丰富、发展和完善运筹和优化这门学科的理论、方法和技巧，而且可以为交通运输等许多重要问题的研究提供一些新的解决办法和思路。