大尺度变形的三维几何模型的对应关系和分割问题研究

3D shape correspondence for non-rigid large scale deformation is a fundamental and difficult problem in geometry processing.The existing shape correspondence methods in many applications depend strongly on initial feature markers, and also a large amount of research has been done in developing correspondence on rigid transformation and non-rigid isometric(or nearly isometric) deformation. However, study on shape correspondence of 3D geometric models differing by large-scale deformations is still at the exploratory stage. 3D shape correspondence and segmentation algorithms capable of handling large, non-rigid variations are going to be studied in this project so as to obtain some accuate objective functions of shape correspondence and to accomplish co-segmentation of a set of shapes. The main contributions of the research include: (1)Two state-of-art shape correspondence algorithms are presented respectively after finding intrinsic geometry descriptors of the shapes based on heat diffusion on Riemannian manifolds and wave functions of quantum particles.(2)An unsupervised co-hierarchical analysis of a set of shapes is introduced, aimed at discovering their hierarchical part structutes, revealing relations between geometrically dissimilar yet functionally equivalent shape parts across the set and accomplishing co-segmentation. (3)Shapes with large-scale deformations are embedded into infinite dimensional space by using the eigenvalues and eigenfunctions of the Laplace-Beltrami differential operator. Moreover, a deformation invariant shape descriptor related to the distribution of the Green's function's values on the surface is introduced to derive shape correspondence and finish co-segmentation.

大尺度非刚性变形的三维模型的对应关系是几何处理中的一个基础问题，也是一个难点问题。目前绝大多数应用中所涉及的对应关系都依赖于模型上标记特征点，并且许多研究工作都针对模型的刚性变换和等距或类似等距的非刚性变换，而对大尺度变形的模型间的对应关系的研究尚处在探索阶段。本研究拟开展对大尺度变形的三维模型的对应关系和分割算法的基础性研究，旨在计算准确的对应关系目标函数和完成一簇模型的协同分割。主要研究工作:(1)基于Riemann流形上的热扩散原理和量子粒子的波动理论，计算模型的本征描述符，推导对应关系的目标函数。（2）提出了无监督的协同分层分析理论，主要为了发现一簇模型的分层部件结构，揭示部件之间的关系，完成协同分割。(3)根据模型的Laplace-Beltrami微分算子的特征函数和特征值，将大尺度变形的模型嵌入到一个无群维的特征空间中，然后由曲面上Green函数值的分布计算出对应关并完成分割。

在两个或多个模型间，或者相邻视频帧之间建立正确的对应关系是一项重要的基础性研究工作。已有的研究工作在刚性变换和等距的（或类似等距的）非刚性变换的三维模型间取得了较好的对应关系模型，然而当模型发生大尺度变换，或是不同种类的模型之间进行变形迁移时，对应关系的计算变得非常困难。本研究针对大尺度变形的三维模型的对应关系和分割算法进行了基础性研究，主要研究内容有：（1）基于Riemann流形上的热扩散原理和量子粒子的波动理论，计算模型的本征描述符，推导对应关系的目标函数。（2）根据模型的Laplace-Beltrami微分算子的特征函数和特征值，将大尺度变形的模型嵌入到一个无群维的特征空间中，利用函数映射理论，计算模型间的对应关系。（3）研究无监督的协同分层分析理论，揭示一簇模型的分层部件之间的一致对应关系，完成协同一致分割。. 经过四年的研究，取得了重要的研究成果：（1）在利用函数映射计算模型间对应关系时，提出了一种校准三维几何模型之间基矩阵的新方法，将模型间对应关系的构建转化为由模型特征函数构建的基矩阵之间的校准运算。（2）提出了融合热核签名和波核签名的新的特征描述符以计算三维模型对应关系的方法。（3）提出了一种基于投票算法构建等距或近似等距的部分模型和完整模型间稀疏对应关系的方法。（4）提出了由粗到精计算不同姿态下三维模型间稠密对应关系的方法。（5）针对非刚性变换后两个三维等距模型间的对应关系问题，提出了基于极点谱植入初始化的贪婪优化算法。（6）基于模型表面信息的热核签名和基于模型体积信息的形状直径函数，提取并合并弱凸部件，实现三维模型集合协同一致分割。（7）提出了一种基于拓扑持续性和热亲和度矩阵的三维模型自动分割方法。. 本课题的研究成果，对大尺度变形的模型的对应关系的计算提供了完备的理论指导，形成了模型分割的有效算法，对计算机动画、非刚性注册、时变曲面三维重建、人脸识别等几何处理应用领域将产生积极的影响。