基于物理和几何的相变与凝聚现象

The current proposal focus on the nonlinear elliptic partial differential equations from Physics and Geometries, such as Allen-Cahn equations, Gross-Pitaevskii equations, Landau-Lifshitz equations, singularly perturbed problems; By the technologies in PDE, we concern the phenomena of phase transitions, vortices and concentrations with complex geometric structures of these equations, as well as their interior mechanism of interactions, so as to improve methods in dealing with a type of reaction-diffusion equations and provide the insight of nonlinear phenomena.

本项目研究一些来源于物理和几何的非线性椭圆型偏微分方程，包括Allen-Cahn方程，Gross-Pitaevskii方程，Landau-Lifshitz方程，奇异摄动问题；主要是用PDE领域的技术来刻画这些方程所蕴含的具有复杂几何结构的相变层现象, 涡旋现象和凝聚现象, 以及它们内部的作用机理，期望获得处理一类更广泛的反映扩散方程的方法, 促进对非线性现象的认识.

非线性相变现象普遍存在于物理、化学、生物以及相关的各个交叉学科。 如果一种物质存在两个不同的物理或者化学状态, 并且存在某种机制使得这两种状态互相转换, 则有相变现象发生, 这两种不同状态的交界面通常被称为相变层(phase transition layer)。 涡旋(vortex)是自然界中的普遍现象，它可以发生在各种尺度和各种介质中：有大尺度的涡旋星系、气流涡旋、洋流、还有微观尺度的超流涡旋、超导体中电子库柏对运动所形成的电流涡旋和宇宙弦等等。 凝聚现象(concentration phenomena)在纯粹数学和应用数学中都有很大的应用；在纯粹数学中，几何里的预定曲率及预定曲率的奇异解分析很大程度上依赖于对爆破(blow up)解的研究；在应用数学中, 很多生物数学中的反应-扩散方程(Gierer-Meinhardt 系统, Gray-Scott 模型, Brusselator 等)会产生稳定的尖峰解(spike)。..本项目主要研究一些具有物理背景和几何来源的非线性椭圆型偏微分方程，包括Allen-Cahn方程，Gross-Pitaevskii方程，Landau-Lifshitz方程，奇异摄动问题；主要是用偏微分方程领域的技术来刻画这些方程所蕴含的具有复杂几何结构的相变层现象, 涡旋现象和凝聚现象, 以及它们内部的作用机理。本项目获得一系列重要的研究成果：部分回答了A. Ambrosetti, A. Malchiodi and W-M. Ni于2003年在Indiana Univ. Math. J.上一篇文章提出的一个关于concentration现象的猜想；用约化方法成功刻画螺旋线形状的涡旋结构的几何特征（曲率、挠率）与涡旋行波速度之间的关系；在分数次方程方面也取得一些成果，为研究团队今后研究分数次非线性问题的相变层(phase transition layer)现象, 涡旋（vortex）现象和凝聚（concentration）现象积累经验，奠定非常重要的基础。 主要论文发表在Trans. Amer. Math. Soc., J. Functional Analysis, J. Differential Equations等重要数学期刊上。