Landau-Lifshitz 方程的非线性涡旋现象与方法

Landau-Lifshitz equation, coming from the dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodies, is always an important issue in pure mathematics. This project focuses on the mathematical theory of Landau-Lifshitz equation. By the methods in nonlinear analysis, we analyze the vortex phenomena for Landau-Lifshitz equation and describe the properties of vortex structures, and then construct solutions with various vortex structures. Furthermore, we also concern the vortex phenomena for nonlinear equations on manifolds, and then study the mechanism between geometric properties of manifolds and vortex structures. Some methods in nonlinear analysis will be applied to handle the key problems, including the degree theory, variational methods, reduction methods, and spectrum theory of nonlinear operators, together with some techniques in geometric analysis and partial differential equations. Whence, it will make a contribute to the development of nonlinear analysis, and also extend the application of nonlinear analysis in applied science and other mathematical problems.

Landau-Lifshitz方程来源于铁磁体磁导率的色散理论，一直都是数学理论研究的重要课题。本项目主要研究内容是关于Landau-Lifshitz方程的数学理论，应用非线性分析方法来研究Landau-Lifshitz方程的涡旋现象，刻画复杂涡旋结构的数学特征，为Landau-Lifshitz方程构造带有不同涡旋结构的解。进一步，考虑定义在流形上非线性偏微分方程的涡旋现象，研究流形曲率等几何特性对涡旋结构的作用机制。需要应用不同的非线性分析工具来攻克关键科学问题，会涉及到非线性分析中的度理论、变分法、约化方法、非线性算子谱理论等，也会用到一些几何分析的技术和偏微分方程的理论。从而促进非线性分析理论的发展，拓广非线性理论在应用科学和不同数学问题上的应用范围。

Landau-Lifshitz方程来源于铁磁体磁导率的色散理论, 另外Landau-Lifshitz方程与几何分析中的薛定谔流有自然的联系, 因此Landau-Lifshitz方程及相关问题一直都是数学理论研究的重要课题. .研究一类带有位势函数的Landau-Lifshitz方程，利用约化方程可以得出vortex的运动学行为，进一步分析涡旋解的分析性质，从而构造带有vortex helix和vortex ring的涡旋解. 对于定义在二维平面上的一个具有两个未知复值函数的耦合Ginzburg-Landau方程组，证明等变涡旋解的非退化性，也就是证明耦合Ginzburg-Landau system在等变涡旋解处的线性化算子的核空间仅仅是来源于方程本身所蕴含的一些不变性; 然后再构造一类涡旋解. 对于一类奇异摄动问题的集中解的clustered layer现象, 我们的研究结果解决了一个公开问题 (参见: M. del Pino, M. Kowalczyk 和 J. Wei在综述文章“The Jacobi-Toda system and foliated interfaces” (Discrete Contin. Dyn. Syst. 2010)的最后一节“Concluding Remarks”中的第四个公开问题). 部分验证A. Ambrosetti, A. Malchiodi 和 W.-M. Ni三位数学家提出的关于奇异摄动问题的集中解的两个猜想 (参见Commun. Math. Phys. 235, 2003, P427-466和 Indiana Univ. Math. J. 53, 2004, P297-329). .相关成果在一些国际著名数学专业期刊(如Journal of Functional Analysis, Calculus of Variations and Partial Differential Equations, Journal of Differential Equations)发表.