高维奇异摄动问题的集中现象

Gierer-Meinhardt模型近年来一直是非线性分析领域的研究热点, 其浓缩解现象近期引起数学工作者的研究兴趣. 本项目将主要是用'无限维Lyapunov-Schmidt约化方法'研究稳态Gierer-Meinhardt模型以及由其导出的奇异摄动问题（包括Schr?dinger方程）的高维浓缩解. 具体来说，研究高维浓缩解的构造方法、高维浓缩解与边界的相互作用、高维浓缩解簇内部的相互作用原理, 以及寻求从奇异摄动问题浓缩解的性质来研究稳态Gierer-Meinhardt模型. 本项目所提出的方法能推广到一类更广泛的反应扩散系统, 对浓缩解以及超导中的N-vortices lines, Allen-Cahn 模型的 clustered phase transition layers 这些具有类似性质的非线性现象获得更深刻的认识.

最近30年来，浓缩(concentration)现象和相变(phase transition)现象是非线性分析领域的研究热点. 特别是Allen-Cahn模型描述的相变现象以及相关的著名De Giorgi猜想在最近10年受到数学家的广泛关注, 获得重要的进展. 在自然科学中, 非线性现象往往发生在复杂的流形上, 因此在高维黎曼流形上构造浓缩现象和相变现象将更为自然, 更能引起一些应用科学家的关注. 本项目主要是用非线性椭圆型偏微分方程的技术和方法来研究自然科学领域中的非线性现象：浓缩(concentration)现象, 相变(phase transition)现象以及vortex现象，涉及奇异摄动问题，(非均匀)Allen-Cahn模型，Gross-Pitaevskii方程，Shrödinger map equation等. . 主要结果涵盖：为解决1998年W. Ni教授在Notice AMS提出的关于奇异摄动集中解的猜想提供部分结果；部分解决2003年A. Ambrosetti, A. Malchodi, W. Ni在Comm. Math. Phys. 上提出的关于一个非均匀奇异摄动问题(inhomogeneous Schrödinger equation) concentration现象的一个猜想(通常称为Ambrosetti-Malchodi-Ni猜想)；解决法国Amandine Aftalion教授在2006出版的专著《Vortices in Bose-Einstein Condensates》中提出的关于Bose-Einstein凝聚现象的边界层(Painleve Boundary Layer)的一个公开问题. . 在今后研究中, 将利用本项目积累的研究经验和方法, 积极研究具有深刻物理背景和几何背景的非线性问题. 寻求构造Gross-Pitaevskii方程具有复杂拓扑结构的vortex现象(比如说vortex helices，skyrmions)的数学方法; 也把这些研究工作中的方法和技术推广到相应的一些半线性的发展方程上, 比如说，研究heat flow of harmonic map等非线性几何流的爆破(blow up)现象.