超二次曲面中的子流形几何

The geometry of submanifolds is an important topic in differentiable geometry, many geometricians studied minimal submanifolds in a complex projective space CP(n). A complex hyperquadric Q(n) is a complex submanifold of CP(n+1), and the inclusion is not totally geodesic. So that the geometries of minmal submanifolds in Q(n) are different from one in CP(n+1). In this subject, we will consider geometries of minimal surfaces in complex hyperquadrics, including some relative problems about Gauss curvature, Kaehler angle, the seconde fundamental form and so on. When the surfaces are two-spheres, we will consider the distribution of their constant Gauss curvature and rigidity. We will characterize minimal surfaces with constant curvature or constant Kaehker angle in complex hyperquadrics of low dimensional. Besides, we also study the geometry of 3-dimensional manifolds and hyper surfaces.

子流形几何是微分几何的重要研究课题之一,许多几何学家们研究过复射影空间CP(n)中的极小子流形.超二次曲面Q(n)是复射影空间CP(n+1)中的复子流形,且其包含映射不是全测地的.因此子流形在Q(n)中的几何与它在CP(n+1)中的几何有很大的不同.本项目将着重研究超二次曲面中极小曲面的几何，包括Gauss曲率，Kaehler角和第二基本形式等几何量之间的关系的相关问题.我们将考虑常高斯曲率极小二维球面的曲率值的分布和刚性.在低维情形下，我们将研究常曲率或者常Kaehler 角的极小曲面的分类，以及三维子流形和超曲面的几何.

超二次曲面Q(n)是复射影空间CP(n+1)的复子流形，其全纯截面曲率不是常数，所以Q(n)的几何结构比复射影空间的复杂。超二次曲面也可看作实格拉斯曼流形G(2,n+2,R)，其几何机构比一般格拉斯曼流形G(k,n,C)简单。到目前为止，关于超二次曲面中子流形几何的结果相对较少。本项目主要研究Q(n)中极小曲面的分类问题。首先，我们分类了Q(2)中常曲率的极小二维球面，同时我们分类了Q(2)中具有常曲率和常凯莱角的极小曲面。我们完全分类了Q(n)中的齐性极小二维球面。我们发现Q(n)中全实常曲率的极小二维球面比CP(n+1)中全实常曲率的极小二维球面多, 并且所得结果有助于研究复格拉斯曼G(2,n+2,C)流形中的极小曲面。因此研究Q(n)中的子流形几何具有特殊的意义。