有限群特征标维数的算术性质及相关问题

One important questions about character degrees is Huppert’s rho-sigma conjecture. Many scholars, like Manz, Wolf, Casolo, Dolfi etc, have obtained many deep results about it. In our opinion, we can do further more about Huppert’s problem.. This project will be devoted to study solvable group which Fitting subgroup is Hall subgroup, nonsolvable group which maximal normal solvable subgroup is Hall subgroup, and reduce the problem of general groups to the research of two special groups; study special orbit of group action which size has many prime divisors and improve the results about rho-sigma conjecture. In addition, we will investigate the related problems on other properties of finite groups. We shall study the number of integer solutions for special case of Nagell-Ljunggren equation, and give a complete answer for the related problems on p-Brauer character degrees and p-regular conjugacy classes; study the related problem on blocks of finite groups and block with special character degrees. Our research will enrich the study about prime divisors of character degrees and representation degrees of blocks, and help to further understand the relationship between representations and finite groups.

Huppert rho-sigma 猜想是有限群表示理论中的一个重要问题，Manz、Wolf、Casolo、Dolfi 等学者对该猜想都做了深刻的工作。我们认为，该问题的研究还可以继续深入。. 本项目将研究 Fitting子群为 Hall子群的可解群、极大正规可解子群为Hall子群的非可解群，并将一般群的问题约化到这两种特殊群上；研究具有足够多素因子的群作用轨道，改进 rho-sigma猜想的现有结果。此外，本项目还要研究有限群其他性质的相关问题：研究 Nagell-Ljunggren方程特殊情形下的整数解的个数，从而对 p-Brauer 特征标和p-正则共轭类相关问题做出完整回答；研究有限群块上的相关问题，以及具有特殊特征标维数的块。本项目的预期研究结果将会完善特征标维数素因子、块上的表示维数的研究，对于进一步理解表示与群结构的关系也有重要意义。

有限群不可约表示的维数是有限群理论重要的研究课题，研究维数的算数性质例如Huppert的ρ-σ猜想和研究表示维数对群结构的影响一直是本研究方向的热点问题。本项目主要研究了具有特殊表示维数的有限群，特征标的余维数和有限群块上的ρ-σ问题，具体如下：.1、我们首先考虑了恰好有两个p’维不可约表示的非交换单群，得到满足此条件的单群只有PSL(2,5)和PSL(2,7)，然后在此基础上分类了满足此条件的不可解群。.2、证明了如果有限群G对应于非平凡因子集的不可约射影表示都是素数方幂维，则G为可解群。.3、研究了特征标余维数对群结构的影响，特别地分类了具有4个和5个余维数的不可解群。.4、改进了可解群的Huppert ρ-σ猜想，并考虑了该问题在块上的对应问题。