多复变中Schwarz引理相关问题的研究

本项目是基于单复变中的经典Schwarz引理，研究多复变中有界域上全纯映射Schwarz引理相关的新问题，探索复分析和几何函数论中的新思路。单值化定理使得单复变中的分析主要集中于单位圆盘和复平面上，但是多复变中不存在单值化定理，因此多复变中全纯映射的Schwarz引理相关问题变得特别的有趣。2009年，F.G. Avkhadiev和K.J. Wirths将多复变中全纯映射高阶导数的Schwarz-Pick估计列为公开问题；2010年，S.G. Krantz提出边界型Schwarz引理是近十来年一个非常活跃的问题，对丰富几何函数论有着非常重要的作用。我们将从复分析和几何函数论的角度探索多复变中有界域上全纯映射的Schwarz引理、（高阶）Schwarz-Pick引理、极值问题和边界型Schwarz引理。本项目将有助于分析单复变和多复变之间的联系，丰富多复变中全纯映射的研究。

在国家自然科学基金青年基金的支持下，本项目顺利完成。在国内外期刊共发表、录用论文20篇（其中SCI论文18篇，二区以上论文6篇），被引用20余次。Schwarz-Pick估计是单复变中的研究热点，在多复变中被F.G. Avkhadiev, K.J. Wirths于2009年列为公开问题。2011年不等维边界刚性问题被美国著名数学家S.G. Krantz列为公开问题。本项目主要研究了多复变有界域上全纯映射Schwarz-Pick估计，不等维有界域上全纯映射的边界Schwarz引理以及边界刚性问题，在一定程度上回答了这些公开问题，并且将单复变中的一些重要成果推广到多复变上。研究内容基本按计划进行，同时也超越了原定计划，涉及到Clifford分析，积分表示，偏微分方程等各个领域。除此之外我们还探索系统理论方面的研究，最终目的是将复分析中的经典结果应用于系统控制的相关领域。今后我们将继续从事这方面的研究，进一步丰富多复变中的理论成果，探索其应用。