有限群的特征标与群结构

In this project, we will focus on the character theory and its influences on the structure of finite groups. Let cd(G) be the set of all the irreducible character degrees of finite group G. We will study on the Berkovich's open question 54, investigate the structure of solvable group which satisfies the greatest common divisor of any distinct integers a,b in cd(G) is a prime power. We will try to find the combinatorial property of the character degree graph and characterize the structure of the group with the given character degree graph. We will consider about the relationship between |cd(G)| and the derived length of a finite group and find the structure of the groups when the.bound of Taketa's inequality is sharp. The relationship between the number of the prime divisors of the largest character degree and |cd(G)| will be considered . We also study on the properties of codegrees and the nilpotence calss of p-groups and determine the groups with special codegrees. The supercharacter table is considered and the influence of super Brauer character theory on the structure of finite groups will be investigated.

本项目研究有限群的特征标理论及其对有限群结构的影响。我们将研究Berkovich公开问题54：若不可约特征标次数集合cd(G)中任意两个不同元素a,b，都满足a,b的最大公因数为素数幂，我们将给出当群G可解时的正规结构。寻找有限群特征标次数图的组合性质，刻画具有给定特征标次数图的有限群结构。进一步研究|cd(G)|与群的导长之间的关系，考虑Taketa不等式取等号时的群结构。考虑最大特征标次数的素因子个数与|cd(G)|之间的关系。研究有限群不可约特征标的余次数与p群的幂零类之间的关系,考察具有特殊余次数的有限群。研究超特征标表及超Brauer-特征标理论对于群结构的影响.

有限群的表示理论包括常表示、模表示理论等，而特征标理论是其中的重要组成部分，已经成为研究群结构的强有力的工具之一。.研究特征标理论中的算术性质及各种特征标次数图在描述有限群的性质、刻画有限群的结构中有着广泛的应用。如何将有关常特征标的结论推广至Brauer特征标也是值得探讨的课题。.本项目主要围绕有限群的特征标（包括常特征标与Brauer特征标）与有限群的结构两个方面之间的关系进行研究，取得了一定量的比较有意义的成果。主要内容和结果如下：.1. 利用可解群的特征标次数图的性质刻画了可解群的若干性质。从特征标次数的算术性质与组合结构出发讨论Berkovich问题54，研究1-连通群、部分2-连通群以及大直径可解群的结构。.2. 证明了Gluck猜想，Isaacs-Navarro-Wolf猜想和Taketa不等式对于直径为3的特征标次数图的可解群均成立..3. 从特征标表得到群结构的一些信息，首次定义了RD1群，并得到了其完整的刻画。.4. 讨论了具有不超过两个超-Brauer特征标理论的有限群。.5. 证明了单体的非单项的p-Brauer特征标的核的交是可解的，从而弱Mp-群的可解性质可以作为推论得到. 利用pi-部分特征标次数研究了Hall pi’-子群的正规性..6. 通过单项Brauer特征标给出了可解群具有正规Sylow p-子群的充分条件..由所取得的结果可以看出，在特征标表、特征标次数图和Brauer特征标的视角下对有限群结构进行研究是行之有效的。