多复变中微分方程若干问题的研究

The main object of this project is to study partial differential equations in several complex variables and some applications of several complex variables. Particularly, the study will focus on some topics on partial differential equations, including the existence of local solutions and global solutions to high order partial differential equations, unique continuation problem of partial differential equations with methods provided by several complex variables. Additionally, we would investigate ordinary differential equations and system control theory using the methods and theories in several complex variables, such as ensemble control of aircrafts and the qualitative theory of neural networks. Our group has done much work on several complex variables, partial differential equations and system control theory. Furthermore, we have cooperated with each other very well and some important progress for this project has been made. The final results of the project will contribute to richening the basic theories of several complex variables and differential equations. Besides, it will promote intersection among different subjects and fields.

本课题的主要研究对象为多复变中的偏微分方程，以及多复变的应用。我们拟致力于研究偏微分方程中的一些热点问题，包括利用多复变的工具研究高阶偏微分方程局部解的存在性、整体解的存在性和偏微分方程的唯一延拓性问题。另外我们拟将多复变的方法和理论应用于常微分方程和系统控制理论研究，如飞行器的整体控制、神经网络的定性理论研究等。项目组在多复变、偏微分方程和系统控制理论中已有一定的工作积累与合作基础。项目的前期研究也取得了一定的进展，其最终研究成果将丰富多复变以及微分方程的基础理论，促进学科领域之间的交叉。

本项目研究了多复变、复平面、实空间中微分方程的相关理论和应用。考虑了加权Hilbert空间上高阶微分方程解的存在性，将其高阶微分算子的逆算子给出了积分形式显示表示。在积分中，对积分区域没有因为阶数的提高而缩小被积区域，这与实空间有本质的区别。作为其应用，证明了一类高阶奇异算子其积分主值的Calderon-Zygmund定理。在多复变的Schwarz引理和刚性问题上，得到了不等维单位球之间全纯映射的一类刚性定理，一定程度上回答了Krantz提出的不等维域之间全纯映射刚性的公开问题。同时将多复变中的方法和理论应用于基于四元数模型的控制系统以及离散动态系统。在四元数控制系统方面，研究了四元数神经网络的稳定性、最优化、分布式优化。利用四元数的复数分解法给出了四元数神经网络稳定性分析的解决方案，以及在四元数优化中的提出了四元数变量凸算法和内部耦合解决方案，既避免了四元数乘法的非交换性，又提高了计算效率。利用航天器姿态四元数模型，设计了基于事件驱动的滑模控制器，用于解决带外部干扰和模型不确定性的刚体航天器的姿态镇定问题。进一步考虑了参数摄动，外界扰动和输入饱和这些更贴近太空环境的复杂情形，研究了航天器姿态的自适应控制问题，为滑模控制器设计了有效的自适应更新率和周期事件驱动策略，从而达到实际滑模。在离散动力系统方面，我们利用矩阵和图论的方法，研究了带有摄动的逻辑网络可控性、镇定性与干扰解耦问题。分析了在函数摄动下，布尔网络的拓扑结构变化特征。降低了动态-代数布尔网络的正则化算法复杂度。对于其可控性研究，提出了新的转移矩阵设计方案，大幅度降低其维数。在干扰解耦问题上，发现基于秩条件的牵制控制策略。利用冗余变量分离方法，得到了驱动条件并且设计了事件驱动控制器。将数学的工具和信息中的问题做了较好地融合，促进了数学与信息学科的交叉研究。