有限群的算术性质和单群的刻画

自上世纪八十年代申请人首次提出用"数量集（元素的阶之集，即群的谱）"刻画有限单群以来，有限群算术性质的研究在国内外都有了较大的进展。本项目深化、扩展和完善已有的工作，继续研讨群的算术性质。研究内容的主要创新点为:（1）什么样的数量集可以成为群的谱？一般地，什么样的数量集可以成为群的共轭不变量（特征标次数、共轭类长、同阶元长等）之集？（2）元素的阶、特征标次数（余次数、零点个数）、共轭类的类数和长度等对有限群结构的影响。特别地，以"元素的交换性"所产生的"数量集"为条件对有限单群的刻画，如：谱刻画、OC刻画、OD刻画、OG刻画、非交换图刻画以及用"两个阶"刻画单群条件的弱化。（3）抽象群结构方面的共轭不变量之间的联系以及它们与特征标次数之间的关系。（4）Thompson问题与Thompson猜想。此外，我们还将研究（5）子群的性质（特别是数量性质）对群结构的影响。

本项目提出了如下5个方面的问题：（1）什么样的数量集可以成为群的谱？（2）元素的阶、特征标次数、共轭类的类数和长度等对有限群结构的影响。（3）抽象群结构方面的共轭不变量之间的联系以及它们与特征标次数之间的关系。（4）Thompson 问题与Thompson 猜想。（5）子群的性质对群结构的影响。上述问题中的大部分都是项目负责人施武杰在“Ischia Group Theory 2010”大会特邀报告中提出的问题（见研究成果[1]）。通过4年的研究，上述问题的解决有了不同程度的进展。文[5](未标注)、[6]是施与俄罗斯专家的合作成果，分别给出了用元素的阶之集不可刻画有限群的充要条件以及与特征为2的酉群同谱的有限群。文[12]是施与伊朗学者的合作论文，研究了联系有限群的幂图的一些性质。前18篇论文中的其余论文均为施与他的博士生的合作论文，研讨了有限群的数量性质以及子群性质对群结构的影响。其中文[11]证明了Lie型单群E_7(q)时Thompson猜想成立。文[19-26]，是本项目的主要成员钱国华的工作。钱早期的工作获得了特征标次数与元素的阶之间的联系：元素阶对应的素图是特征标余次数图的子图，这是一个创新性的成果。文[25,26]是钱国华及其合作者2015年发表在J. Algebra上的两篇文章，分别从特征标和数量关系研究了群的结构。其中文[25]研究了平均不可约特征标次数和共轭类长度对群结构的影响。文[27-42, 44]为本项目主要成员陈贵云与其博士生的合作成果，其中不少工作都是研究群的数量结构对有限群的影响（给出刻画或分类）。文[43]是本项目成员余大鹏与其合作者的成果。四年来，整个项目组共完成论文88篇，其中发表在国际刊物上的有54篇，发表在SCI（SCIE）刊物上的有41篇，ISTP上的1篇。项目主持人和本项目的两位主要成员的工作各有其特色。近4年来，施多次出国出席国际会议和进行学术交流，扩大了他所开创的“群的数量刻画”工作的影响。2015年，由施所主持的“群的数量性质及相关课题国际研讨会”得到了国内外群论专家的积极反应。钱的工作是高质量的，在国际上有较大的反响。而陈的工作对培养研究生发挥了很大的作用。