非对称狄氏型在边值问题和马氏过程大偏差中的应用

Dirichlet form theory combines the classical potential theory with the Markov process theory. It is widely used in the fields of potential theory, stochastic differential equations, quantum mechanics, large deviation theory, etc. There are many good results on the boundary value problems for a general class of second order symmetric elliptic operators and large deviation problems associated with symmetric processes by using Dirichlet form theory. But there are plenty of unsolved problems about the boundary value problems for non-symmetric elliptic operators and large deviation problems associated with non-symmetric processes. In this project, we hope to study some problems on boundary value problems and large deviation by using Dirichlet form theory.The main topics of this project are as follows: Firstly, we hope to study the Dirichlet boundary value problems for the operators with jump and mixed boundary value problems for a general class of second order non-symmetric elliptic operators. We consider the existence and uniqueness of the solutions of these boundary value problems and obtain the conditions for the existence and uniqueness of the solutions. Then we hope to get the probabilistic representations of the solutions. Secondly, we will study some large deviation problems related to Markov processes which are associated with non-symmetric Dirichlet form. We hope to establish large deviation principle of the occupation time distribution for non-symmetric Markov processes with finite lifetime, then we will solve asymptotic evaluation of semigroups of more additive functionals by using the large deviation principle in the framework of non-symmetric Markov processes .

狄氏型理论将经典位势论与马氏过程理论有机的结合在一起，它在位势理论、随机微分方程、量子力学、大偏差理论等相关领域都有广泛的应用。利用狄氏型理论来研究一类二阶对称椭圆算子所对应的边值问题以及与对称过程相关的大偏差问题已有很多好的结果。但是具有非对称椭圆算子的边值问题及非对称过程相关的大偏差问题还有很多尚未解决。本项目拟利用狄氏型理论对一些边值问题及大偏差问题进行研究。主要研究内容有：1、带跳算子的狄利克雷边界值问题以及一类二阶非对称椭圆算子所对应的混合边界值问题。考虑这些边界值问题的解的存在性和唯一性，期望得到解的存在性和唯一性条件，进一步给出解的概率表示。2、与非对称狄氏型所联系的马氏过程相关的大偏差问题，期望得到生命时有限的情形下非对称马氏过程的占位时分布的大偏差准则，进而在非对称马氏过程的框架下，基于大偏差准则去解决更多可加泛函的半群的渐进估计。

狄氏型理论是现代概率论与随机过程中最活跃的研究方向之一，它将经典位势理论与马氏过程理论有机的结合在一起，在分析与概率之间建立了一座桥梁。本项目主要利用狄氏型理论对边界值问题及大偏差问题进行研究。我们首先考虑了具有有限生命时（不必对称）马链的大偏差，利用一个正函数来定义马链的一个上鞅，通过定义一个新的生成元得到一个遍历的马链，从而具有唯一的不变测度。利用过程的遍历性，我们将下界所对应的方程做一些变换，最后发现此类大偏差准则的下界可以通过求解一类新的非线性方程组得到。我们分不同情况来讨论方程组存在一个正解，其中反证法起重要作用。另外，我们应用布朗运动的时间逆转算子和狄氏型理论，给出一类算子狄利克雷边界值问题的概率解，并证明其在边界上连续。对于一类随机微分方程，我们利用随机theta方法证明了数值周期解的存在性，并估计了精确解与估计解的误差。项目执行期间项目组成员共发表期刊论文3篇。共培养3名硕士，其中2名硕士生继续攻读博士研究生。