非对称马氏过程的理论研究及应用

Until now, the temporally varying dynamic behavior of Markov processes has been rarely studied. However, many important problems in statistical physics and biological physics concern the dynamic behavior of the Markov process, usually non-symmetric or inhomogeneous, describing the system, such as the fluctuations of a nonequilibrium system, the response to perturbations and the metastability behavior of the system. In this project, we will research the dynamic behavior of Markov processes in these problems. More specifically, chemical master equations, actually a kind of continuous-time Markov chains, are appropriate models of biochemical reaction systems in cells. We will establish the Freidlin-Wentzell theory for chemical master equation models in the sense of large time scale. That is to say, we will prove that under appropriate conditions, these models satisfy the large deviation principle, and study the metastability behavior of systems with multiple steady states, including the distributions of the times spent by the systems to climb up attracting basins, the transition probabilities among attracting basins, and the most probable paths of transitions. We will prove that under appropriate conditions, the sample entropy production rates of chemical master equation models satisfy the large deviation principle and the Gallavotti-Cohen type fluctuation theorem. We will generalize these results to more general continuous-time Markov chains. We will also prove fluctuation-dissipation theorems for some typical stochastic processes, and establish a unified mathematical framework of fluctuation-dissipation theorems.

至今，人们对非对称或非时齐马氏过程随时间变化的动态行为的研究还较少，然而在许多源于统计物理、生物物理的问题中，人们关心的却是描述系统的马氏过程（常是非对称或非时齐的）的动态行为，例如非平衡系统的涨落、系统对扰动的响应、系统的亚稳态行为等。我们将研究这些问题中马氏过程的动态行为。更具体地，化学主方程模型是细胞内生化反应系统的马氏链描述。我们将建立化学主方程模型在大时间尺度极限下的Freidlin-Wentzell理论，也就是要证明化学主方程模型满足大偏差原理，并对多稳态系统研究其亚稳态行为，包括系统爬出吸引盆的时间分布，吸引盆间转移的概率以及转移的最可及路径等。我们将证明化学主方程模型的样本熵产生率满足大偏差原理和Gallavotti-Cohen型涨落定理。我们将把这些结果推广到较一般的连续时间马氏链。我们还将对一些典型的随机过程证明涨落耗散定理，并建立涨落耗散定理的统一的数学框架。

到目前为止，人们对马氏过程随时间变化的动态行为的研究还比较少，然而许多统计物理、生物物理中的有趣问题关心的都是系统的动态行为，如非平衡系统的涨落、细胞基因表达的时间演变等。.. 基于统计物理、生物物理的实际问题背景，本项目主要研究了一些非对称马氏过程及半马氏过程的动态行为：对于细胞内生化反应系统的马氏链描述——化学主方程模型，我们研究了四种细致平衡条件之间的关系以及全局位势的存在条件，并用以构造具有多稳态的随机细致平衡的高维化学反应系统；我们给出了求解一大类一阶随机化学反应系统的平稳分布的新方法。对于可数状态的半马氏过程，在适当条件下，我们证明了其经验测度和经验流的联合分布满足大偏差原理。我们系统研究了可数状态半马氏过程的环动力学，进一步发展了半马氏过程基于轨道定义的消圈环流理论；基于新发现的一系列关于路径数的环对称性，我们得到了多项描述过程非平衡态动力学性质的结果，包括广义Haldane等式、暂态涨落定理、Gallavotti-Cohen型涨落定理等。我们提出了欧式空间与流形上一种适应的核密度估计方法。我们发展了从聚合基因表达数据学习跳跃扩散过程、并用以描述基因表达的时间演变生物学过程的方法。该算法以聚合基因表达数据为输入，而输出跳跃扩散过程的漂移系数、扩散系数、跳跃幅度分布密度等模型参数。.. 这些研究成果进一步丰富发展了非平衡系统的严格数学理论，并提供了一些应用这一理论解决生物物理等广泛领域内实际问题可资借鉴的具体例子。.