非对称狄氏型及其相关问题的研究

Dirichlet form theory is one of the most active directions in the modern probability and stochastic analysis field. It is also a strong tool of the stochastic analysis and its application. The symmetric Dirichlet form theory has been developed completely and been well used to solve problems in many fields. However, about the non-symmetric (semi, generalized) Dirichlet form, there are many theoretical and applied problems needed to be solved. The research on these problems have important significance in the theory and application. This project will focus on the following topics. Firstly, we will further develop Fukushima's decomposition under the framework of semi-Dirichlet form and extend its related Nakao stochstic calculus, then we will apply them to study the perturbation of Dirichlet form. Secondly, we will study the perturbation of non-symmetric Dirichlet form and the strong continuity of the corresponding generalized Feynman-Kac semigroup, we wish to give the necessary and sufficient condition for the semigroup to be strongly continuous. Thirdly, we will investigate the Girsanov transformation and its related problems on Markov processes associated with non-symmetric Dirichlet form. We try to characterize the duality and analytic properties of the transformed processes. Lastly, we will utilize Dirichlet form theory to solve large deviation problem, we expect to get large deviation of the generalized Feynman-Kac functionals induced by a class of additive functionals with zero energy. After doing this, we will study the Lp-independence of the corresponding semigroup's spectrum.

狄氏型是概率论与随机分析领域最活跃的研究方向之一，它也是随机分析及其应用的强有力工具。在对称狄氏型情形，它的理论发展已经很完善,并成为解决许多问题的重要工具。然而，在非对称（半、广义）狄氏型情形，尚有许多理论及应用问题需要研究，对这些问题的研究，无论是理论还是应用上都有十分重要的意义。本申请项目有以下内容：1.完善半狄氏型的Fukushima分解及相关的Nakao随机积分，并应用于狄氏型扰动问题的研究；2.研究非对称狄氏型的扰动以及相应的广义Feynman-Kac半群强连续性，寻找该半群强连续性的充要条件；3.研究联系非对称狄氏型马氏过程的Girsanov变换以及相关问题。力图刻画非对称狄氏型联系的马氏过程经Girsanov变换后的对偶性及分析性质；4.以狄氏型为工具研究大偏差问题,期望得到一类由零能量可加泛函生成的广义Feynman-Kac泛函的大偏差,进一步研究相应半群谱的Lp独立性。

狄氏型理论是随机分析及其应用的强有力工具。对称狄氏型理论的发展已经很完善，并成为解决许多问题的有利工具。然而对于非对称（半、广义）狄氏型的情形，尚有许多问题需要研究。本项目主要研究了狄利克雷生成元和半狄氏型的Levy–Khintchine类型的表示、狄利克雷边界值问题的解的概率表示以及非对称半群的概率表示、半狄氏型框架下广义Feynman-Kac半群强连续性及零二次变差过程的表示、半狄氏型所联系的马氏过程的随机积分等问题。在半狄氏型框架下，我们用新的方法得到了狄利克雷生成元以及半狄氏型的Levy-Khintchine表示，这些新的结果把Courrege的经典结果从一般的Feller过程推广到了一般的右连续马氏过程，加深了我们对马氏过程的理解，也推广了R^n的开子集上的对称狄氏型的Beurling–Deny公式。我们利用狄氏型理论及热核估计得到了一类椭圆微分算子的狄利克雷边界值问题的解的存在唯一性定理，并且给出了其所对应的解的概率表示，从而推广了对称狄氏型框架下的相关结果。在半狄氏型框架下，得到了广义Feynman-Kac半群强连续性的两个充分条件，同时推广了Fukushima type分解，给出了半狄氏型所联系的马氏过程的随机积分的定义，并得到了伊藤公式。此外，本项目执行期间，项目负责人共培养了8名硕士研究生毕业，其中1名硕士生继续攻读博士研究生。