无界系统的KAM理论和有效稳定性理论及其应用

The derivative nonlinear Schrodinger equations are important mathematical models in physical. It is great meaningful to get their quasi periodic solutions and long time stability in the vicinity of the equilibrium point. The current achievements in this area are mostly about bounded semi-linear partial differential equations. There is a few results about unbounded semi-linear and quasilinear partial differential equations. First, we will research KAM theory of unbounded Hamiltonian systems, applying which quasi periodic solutions to unbounded quasi-linear Hamiltonian Schrödinger equations and general quasi-linear perturbations of KdV equations are obtained. Next, we will study Birkhoff normal form theory and energy inequality of unbounded Hamiltonian systems under different symplectic structures and more general conditions. From this result we will get the long time stability of solutions with small initial value to more general unbounded semi-linear Hamiltonian Schrödinger equations. We will also study Birkhoff normal form theory and the energy inequality of the unbounded reversible systems from which the long time stability of the solution with small initial value to unbounded semil-linear reversible Schrödinger equations are obtained.

非线性项带有导数的薛定谔方程等是很多实际物理中的重要数学模型，研究该类方程的拟周期解的存在性以及解在平衡点附近的有效稳定性是非常有意义的课题。但已有的结论大部分是关于半线性偏微分方程，对于无界半线性和拟线性偏微分方程的结果很少甚至没有。本项目将主要研究适用于拟线性哈密顿薛定谔方程以及更一般的拟线性哈密顿扰动的KdV方程的无界系统的KAM理论，从而得相应方程的拟周期解；接下来将研究在不同辛结构下的无界哈密顿系统的Birkhoff正规形理论和其解的能量不等式，近而得到更一般的无界半线性哈密顿薛定谔方程以及拟线性哈密顿薛定谔方程的小初值解的有效稳定性；还将研究无界反转系统的Birkhoff正规形理论和其解的能量不等式，并应用于无界半线性反转薛定谔方程，得到其小初值解的有效稳定等。

非线性项带有导数的薛定谔方程等是很多实际物理中的重要数学模型。研究该类方程的拟周期解的存在性以及解在平衡点附近的有效稳定性是非常有意义的。本项目研究了不同辛结构下的非线性带导数的空间一维哈密顿薛定谔方程，非线性项周期依赖空间变量的带导数的空间一维哈密顿薛定谔方程以及耦合的非线性项带导数的哈密顿薛定谔方程。得到了大部分位势参数对应的上述方程其小初值解的有效稳定性；还得到了以初值作为参数的无界无穷维哈密顿系统的Birkhoff正规形理论和其解的能量不等式，并应用于带导数的空间一维的哈密顿薛定谔方程，得到其小初值解的有效稳定等。得到了半线性分数Laplace反转的薛定谔方程的拟周期解的存在性; 得到了在几乎周期的外力作用下的调和振子方程的几乎周期解的存在性。