极小弱拓扑群若干问题的研究

The study of minimal topological groups which are promoted as compact groups is an important research topic in the modern theory of topological groups. Many famous international topologists are involved in the study of minimal topology groups. Paratopological groups and semitopological groups are two important types of weakly topological groups. The research about finding conditions on a minimal paratopological (semitopological) group which imply that it is a topological group is one of the hot topics in the theory of weakly topological groups. According to some open problems about minimal paratopological groups posed by I. Guran, Sánchez and Tkachenko, we will focus attention on the following two questions: (1) Is there a minimal Hausdorff paratopological group which is not a topological group; (2) Characterize the paratopological groups H such that the corresponding quasitopological group Q2(H) has one of the following properties: (i) Q2(H) is metrizable; (ii) Q2(H) is first-countable; (iii) Q2(H) has G_δ-diagonal. The intensive study of these problems will provide new methods and tools for the study of paratopological (semitopological) group, with the hope of publishing about 10 papers in influential journals.

极小拓扑群作为紧群的推广是当代拓扑群理论中的重要研究课题，国际上许多著名拓扑学家都参与了极小拓扑群理论的研究。仿拓扑群和半拓扑群是两类重要的弱拓扑群，二者在何种条件下成为拓扑群是弱拓扑群理论中的热点研究课题。本项目关注研究极小仿(半)拓扑群在什么条件下成为拓扑群。我们将研究如下由I.Guran，Sánchez和Tkachenko提出的两个问题:(1)是否存在一个极小的Hausdorff仿拓扑群，但不是拓扑群；(2)刻画仿拓扑群H,使得Q2(H)具有以下其中一种性质:(i)Q2(H)是可度量的；(ii)Q2(H)是第一可数的；(iii)Q2(H)具有G_δ-对角线。这些问题的深入研究和解决将丰富弱拓扑群理论以及极小群理论，并且为相关的研究提供新的途径和方法。未来三年将解决或部分解决所列问题，预期发表论文10篇。

拓扑代数是拓扑和代数的有机融合，由于其将拓扑结构与代数结构融为一体，使得其比单纯的拓扑结构或代数结构具有更多更好的性质。拓扑群是拓扑代数众多研究领域中的一个主要方向，极小拓扑群作为紧群的推广是当代拓扑群理论中的重要研究课题，仿拓扑群和半拓扑群在何种件下成为拓扑群是弱拓扑群理论中的热点研究课题。首先，围绕 I.Guran在文献《Some open problems in the theory of topological groups and semigroups》中提出的公开问题：极小仿拓扑群是否一定是拓扑群？我们探究了极小半拓扑群成为拓扑群的条件，部分解决I.Guran提出的上述问题。其次，围绕I.Sánchez和M.G.Tkachenko在文献《A quasitopological modification of paratopological groups》提出的若干公开问题，在I.Sánchez和M.G.Tkachenko已有工作的基础上我们进一步推广了相关结果，并建立了给定的极小仿(半)拓扑群G与赋予新拓扑后的拟拓扑群Q(G)基数函数间的内在联系。最后，受以上工作方法的启发，拟拓扑群、rectifiable空间上我们也得到若干重要的基数函数，所得结果丰富了弱拓扑群理论与极小群理论，在有影响的期刊上发表标注项目编号的论文31篇。