一类由狄氏型定义的奇异对称马氏过程的研究

In the late 1950's and throughout 1960's, famous mathematicians like Nash, De Giorgi, Moser, Aronson, and others developed a theroy for elliptic operators in divergence form. They obtained the Holder regularity of harmonic functions with respect to these operators, the Harnack inequality, and estimates for the fundamental solution. In this project, we use Dirichlet forms to define Markov processes associated with a class of singular nonlocal operators. Harnack inequality fails here. We will mainly work on the Holder continuity of harmonic functions with respect to these Markov processes and give heat kernel estimates. In some concrete cases, we will give sharp heat kernel estimates, and consider the Meyer inequality for operators associated with these processes and the effect of diffusions to original processes.

上世纪50年代后期到60年代，著名数学家如Nash，De Giorgi，Moser，Aronson等对发散形式椭圆算子建立了一套理论。他们给出了这类算子对应调和函数的Holder正则性，Harnack不等式和基本解的估计。本项目中我们用狄氏型定义一类奇异非局部算子对应的马氏过程。这里Harnack不等式不成立。我们主要研究这类马氏过程对应调和函数的Holder连续性和给出热核估计。在一些具体情形，我们将给出尖锐热核估计，并研究过程对应算子的Meyer不等式和扩散扰动对原过程的影响。

本项目主要利用随机分析的方法研究一类奇异对称带跳马氏过程的热核估计, Meyer不等式, 以及该类过程经扩散扰动后所得到的新过程的热核估计和新过程所对应的调和函数的正则性。增加了用极限理论的方法来逼近所研究过程热核估计的内容和在金融等领域中应用的内容。得到了过程热核的一些估计和估计方法, 一定条件下过程对应调和函数的正则性, 以及相应一些过程的极限定理和在保险中的应用。在国际学术期刊上已发表SCI论文3篇，另有1篇论文已被接收。..本项目研究使我们更好的认识到尽管Harnack不等式不成立, 还是能够得到一些很好的结果; 并对带跳马氏过程跳机制有了更加清晰的了解。从概率论的角度为我们研究一类积分微分方程解的估计和性质提供了一些很好的工具和方法。加入扩散扰动后所得到的研究成果, 让我们清楚扩散扰动和跳机制之间的关系并在金融等领域中具有很好的应用前景。