谱可变（2+1）维变系数模型可积性与孤子解动力学研究

由于变系数函数的引入、维数的增加以及谱问题的可变性等因素，目前关于谱可变的（2+1）维变系数模型可积性和多孤子解动力学的研究仍不成熟，至今尚无系统的研究方法可循。针对该问题，本项目以在玻色-爱因斯坦凝聚、等离子体和海洋学等领域中有着广泛应用的谱可变（2+1）维变系数Gardner模型为研究对象，根据方程类型的不同，分别采用Painlevé分析、双奇异流形方法和可积分解等多种方法开展可积性质研究，并借助计算机符号计算推导出方程的Lax对、Darboux变换和多孤子型解。同时,基于变系数模型的物理意义，分析讨论变系数项对多孤子解动力学传播特性的影响，如孤波的传播速度、振幅、平衡位置和相互作用等，特别是针对由不同方法推导出的同一个模型的可积性质进行比较分析，总结各种方法的优缺点，建立一种系统研究谱可变（2+1）维变系数模型的方法，为揭示复杂非线性现象的物理机制提供重要的理论依据。

在本项目中，以在玻色-爱因斯坦凝聚、等离子体和海洋学等领域中有着广泛应用的谱可变（2+1）维变系数模型为主要研究对象，通过Painlevé分析、双奇异流形方法和可积分解等多种方法进行了谱可变（2+1）维变系数模型可积性质研究和孤子解动力学特性研究，项目主要研究成果如下：.（1）利用双奇异流形方法构建了谱可变（2+1）维变系数修正Kadomtsev-Petviashvili（KP）模型的自-Bäcklund变换和Lax对，并基于奇异流形和本征函数间的关系推出了方程的二元Darboux变换，同时经过多次二元Darboux变换迭代获得了谱可变（2+1）维变系数修正KP模型的Grammian解。.（2）（2+1）维变系数Gardner方程可用于描述在分层流体中海洋内波的传播特征以及非均匀二层流体中长波的传播。通过单Lax对的非线性化方法将（2+1）维变系数Gardner方程可积分解为（1+1）维线性2阶和3阶的Burgers方程组，利用Hopf-Cole 变换将其线性化并推导出（2+1）维模型的多孤子解，分析了变系数函数对孤立波传播特征的影响，直观地讨论了丰富的冲击型孤波的传播特征和碰撞结构。.（3）利用谱可变的Ablowitz-Kaup-Newell-Segur谱系统推出了（1+1）谱可变变系数模型的可积性约束条件和Lax对，构造相应的自-Bäcklund变换和非线性叠加公式，为构建谱可变（2+1）维变系数模型的Lax对、Darboux变换和多孤子解等可积性质奠定基础。.（4）以含有横向扰动项的二维柱KP模型为研究对象，综合考虑中国南海海域的地形特点、层结的差异和非均匀性等因素的影响，利用基于作用量谱平衡方程和波数谱平衡方程的二维变系数模型的海洋内波模拟机制，模拟研究了南海东沙群岛和吕宋海峡的海洋内波的传播特征和丰富的非线性相互碰撞结构，并分析了上升型和下降型抛物线型海洋内波引起的海洋表层流速随时间的变化特征，可以看出模拟结果同已有的结果较一致。同时基于已有的海洋内波参数反演方法，利用二维柱KP模型对若干海洋内波参数进行初步的反演研究。.通过本项目的实施不仅初步建立较为系统的谱可变（2+1）维变系数模型可积性质的研究方法，还能为更加高维的变系数模型可积性的研究奠定基础。同时希望项目的研究成果可用于描述和解释复杂的海洋内波的动力学机制并提供相应的理论依据。