非线性对偶可积系统的几何可积性、尖峰孤子解和解的奇性

Dual integrable systems include the well-known Camassa-Holm equation, the modified Camassa-Holm equation, a novel Schrodinger equation and the two-component Camassa-Holm system,etc. These equations have attracted much attention among the experts in the areas of mathmeatical physics and partial differential equations. In this project, we first develop the tri-Hamilton duality approach due to Olver， Rosenau and Fuchssteiner and the Lie-Backlund symmetry method to classify dual integrable systems with non-smooth solitary wave solutions, so that some new dual integrable systems will be obtained. We also study the local and nonlocal symmetries, physical background and geometric integrability of these integrable systems. Furthermore, we study the relationship between these systems and invariant geometric flows in certain geometries. Second, we study the existence of non-smooth solitary waves, their structure and dynamical stability. It is of our interest to explore the formation mechanism of non-smooth solitary waves. Third, we study the well-posedness of the Cauchy problem for these systems, which include the inverse scattering approach, the existence of local and global strong solutions, and the existence of weak solutions of these systems. Finally, the singularities of the solutions to the new dual integrable systems will be investigated. Blow up criterion and wave breaking mechanism for certain initial profiles will be given.

非线性可积系统的对偶系统包括Camassa-Holm方程，修正的Camassa-Holm方程，对偶薛定谔方程和两份量的Camassa-Holm方程等。由于这些方程（或方程组）是可积的，但具有非光滑的孤立波解如尖峰孤子解和cuspon解，近年来引起了数学物理和偏微分方程领域学者的广泛关注。本项目首先将发展Olver和Fuchssteiner等人的三重 Hamilton对偶方法和Lie-Backlund对称方法来分类具有非光滑孤子解的非线性色散可积系统；研究这些新的可积系统的对称、几何可积性和物理背景, 深入探讨它们和某些几何中不变几何流的密切联系。研究这些可积系统的非光滑孤子解的存在性、结构和稳定性，探讨非光滑孤子解形成的机理。讨论其初值问题的适定性问题，包括逆散射方法，强解的局部和整体适定性，弱解的存在性等。研究这些方程解的奇性，寻找解爆破的机制，给出解爆破和波破缺的充分或必要条件。

本项目主要研究了非线性可积系统与其对偶系统之间的Liouville对应， 对偶可积系统的几何方面和奇性和两份量的Camassa-Holm（CH）方程的一类尖峰孤子解的稳定性等。首先建立了修正的CH方程和修正的KdV方程、Novikov方程和Sawada-Kotera方程， DP方程和Kaup-Kupershmidt方程之间的Liouville对应， 结合Mckean 和Fordy-Gibbon的工作， 给出了CH方程和修正的CH方程之间的广义的Miura变换以及 Novikov和DP方程之间的广义Miura变换。 发展了新的方法研究了带有一阶色散项的修正CH方程的解由振荡引起的爆破。给出了初值问题解爆破的一些条件， 这些条件包括了一些局部或单点的爆破条件。此外， 通过分析各种非线性项的相互作用， 刻画一些重要物理量的动力学行为， 结合方程的守恒律和解的结构，还研究了DP和Novikov 方程解的奇性， 给出了解爆破的局部条件， 得到了很精细的结果。建立了相似辛几何中曲线的理论, 得到了其Frenet公式。研究了相似辛几何和辛 Grassmannian 空间中的不变曲线流， 给出了Olver和Sokolov (CMP, 1998)文中一些可积系统的几何解释。发展变分方法结合李雅普诺夫方法证明了两分量CH系统一类尖峰孤子解的稳定性。 最后我们研究了一类非局部的Whitham方程的奇性， 改进了Constantin 和Escher发表在Acta. Math. 文中的著名工作。