(2+1)维孤子方程的可积离散化以及拟周期波解研究

This project focuses on the study of integrable discretization of （2+1）dimensional soliton equation and the N-periodic wave solutions. The main targets include the integrable discretization of the Kadomtsev–Petviashvili equation, the Davey–Stewartson equation and their applications in numerical simulation, the N-periodic wave solutions of soliton equation and their simulation. The main skills include the bilinear direct method, the technique of integrable discretization, some numerical algrithms in numerical algebra and numerical methods of differential equations. The study of this project mostly focuses on the integrability of equations, the structure of solution and numerical algrithms, and will based on some important physical models.

本项目主要研究（2+1）维孤子方程的可积离散化以及孤子方程的多周期波解。研究内容主要包括Kadomtsev–Petviashvili（KP）方程、Davey–Stewartson方程以及其它高维孤子方程的可积离散化和数值应用，孤子方程的拟周期波解求解、数值模拟和多周期波解的存在性验证等。使用的主要方法包括双线性直接方法、可积离散化技巧以及一些数值代数算法和微分方程的差分方法等。本项目侧重于研究方程的可积性质、解的结构和数值求解，并侧重于对一些具有重要物理背景模型的研究。

孤子方程的可积离散化以及周期波解研究一直是一个重要课题。本项目的研究内容主要包括孤子方程的可积离散化及其在数值求解孤子方程上的应用，孤子方程的拟周期波解求解、数值模拟和多周期波解的存在性验证。相关研究结果共发表文章6篇。. 在孤子方程的可积离散化方面，我们研究并给出了mKdV方程和GCID方程的可积离散化方程，研究了相关方程的可积性质，设计了数值模拟连续方程的可积数值算法；此外，我们研究了一类耦合的离散mKdV方程，并和斜正交多项式、加速收敛算法联系在一起。相关结果共整理成三篇文章。. 在孤子方程的周期波解方面。我们着重研究了KdV类型和Toda类型孤子方程的周期波解的求解，给出了系统的数值求解方法，并一定程度上验证了Hirota的猜想。此外，还研究了负流mKdV方程的呼吸子解问题，呼吸子解是一类时间上带有一定周期性的解，我们给出了呼吸子解的具体形式并研究了相关的稳定性。相关结果共整理成三篇文章。