切频沿给定方向的无界临界KAM理论及应用

As the development of KAM theorem in nearly integrable Hamiltonian .system with unbounded perturbation, an interesting frontier concerns.studying quasi-periodic solutions of Hamiltonian partial differential .equations with nonlinearity containing derivatives. As we know, it is.crucial to choose suitable parameters in investigating the invariant .torus of Hamiltonian partial differential equations. From this point of.view, it was of great importance for Bourgain and Eliasson to study.the existence of invariant torus with tangential frequency along the .pre-assigned direction for the finite dimensional Hamiltonian systems..Moreover,Bourgain made the conjecture that this conclusion might be.valid for infinite dimensional Hamiltonian systems. Berti et al proved the .Bourgain conjecture under the bounded perturbation circumstance. This.research work plans to investigate the Bourgain conjecture under the .unbounded critical perturbation circumstance for infinite dimensional.Hamiltonian system. To be specific, we will achieve the following two .goals: (1) we will establish a KAM theorem for the infinite dimensional.Hamiltonian system containing unbounded critical perturbation with final.tangential frequency along the pre-assigned direction. (2) we apply this .KAM theorem into a class of perturbed Airy equations, the Benjamin-Ono .equation and the Schrodinger equations with nonlinearity containing .derivatives, and derive the corresponding invariant tori and quasi-periodic.solutions with tangential frequency along the fixed direction. Our research.work will further generalize the Bourgain conjecture to infinite dimensional.dynamical systems, and improve our theoretical basis for the studies on .dynamical behavior of infinite dimensional systems.

随着带无界扰动的哈密顿系统中KAM定理的发展，非线性项中带导数的哈密顿偏微分.方程拟周期解的研究成为最近的热点。在研究哈密顿偏微分方程的拟周期解时，选取.合适个数的参数至关重要，从只需单参数的角度看，前人研究有限维哈密顿系统中.切频沿给定方向的不变环面的工作意义重大。著名数学家Bourgain猜测此结果可推广.至无穷维哈密顿系统中。在有界扰动的情形，Bourgain猜测已被证明。本项目致力.于研究带无界临界扰动的无穷维哈密顿系统中的Bourgain猜测，具体问题包括：.(1)建立带临界无界扰动的无穷维哈密顿系统中切频沿给定方向的KAM定理；.(2)将此KAM定理应用到扰动Airy方程、Benjamin-Ono方程及DNLS方程中，研究.其切频沿给定方向的不变环面及相应拟周期解。本工作将进一步推广无穷维哈密顿.系统中的Bourgain猜测，为研究无穷维系统中的动力学行为提供理论支持。

在研究Hamilton偏微分方程的拟周期解时，选取合适个数的参数至关重要。本项目旨在研究带无界临界扰动的无穷维Hamilton动力系统中低维椭圆不变环面的存在性，并且限定拟周期解的频率与初始频率方向一致，即本质上我们只需选取一个参数。主要研究对象是可以化为无穷维Hamilton动力系统的可积偏微分方程，特别是非线性项中含有导数的Schrodinger方程、BO方程等。具体分为以下两步：第一步，建立无界临界扰动下的无穷维Hamilton系统中切频沿着给定方向的不变环面及时间拟周期解的存在性。第二步，用KAM定理研究扰动Airy方程、BO方程及带导数的NLS方程，得到其相应的时间拟周期解。.事实上，我们建立了求解第一步中的KAM定理所需的同调方程并给出解的估计，按照常规KAM定理的过程，我们需要选取合适参数进行匹配保证每次KAM迭代后新的扰动项量级是迭代前扰动项量级的m次幂(m>1)，这样经过无穷次迭代后，影响不变环面存在的扰动项量级变成初始扰动项的超指数幂，从而趋于零。不同于常规无界KAM定理的是，我们这里给出的同调方程解的估计量级过大导致KAM迭代无法一直进行，这一困难目前我们还没有克服，负责人仍在进一步探索。庆幸的是，我们在展开本项目的过程中，对于无穷维Hamilton动力系统有了更深入的研究，尤其是建立了关于带导数的高阶非线性Schrodinger方程、带奇异位势的非线性波动方程和Schrodinger方程、带高阶非线性项及固定位势的Schrodinger方程、广义的Benjamin-Bona-Mohony方程等的拟周期解存在性，为我们以后研究空间高维数的非线性方程的局部动力学行为做了铺垫。