多尺度哈密顿系统的KAM理论和有效稳定性

In this project, we study on the KAM theory and the effect stability of multiscale Hamiltonian systems. Multiscale Hamiltonian systems arise from the study of Lunar problem in celestial mechanics, who has a wide range of backgrounds in restricted N-body problems. The dynamic stability of multiscale Hamiltonian systems has become a great concerned issue both in the fields of celestial mechanics and dynamics for a long time. It is very complicated to study “General problem of the Dynamics” about multiscale Hamiltonian systems, largely because multiscale phenomena lead to the properly degeneracy of our systems which can not be tackled by classical KAM theory. We try to solve “General problem of the Dynamics” about multiscale Hamiltonian systems by developing a suitable multiscale KAM iteration technique. We will build a theoretical framework of research on the KAM theory and the effect stability of multiscale Hamiltonian systems. And also we try to present the persistence of lower invariant tori of multiscale Hamiltonian systems under resonant situation. We expect that our results can answer the concerned Lunar problem and other related N-body problems in celestial mechanics. Furthermore, we try to get the KAM theory of multiscale infinite dimensional Hamiltonian systems by multiscale KAM iteration technique and para-differential local analysis method.

本项目主要研究多尺度哈密顿系统的KAM理论和有效稳定性。多尺度哈密顿系统起源于对天体力学中月球问题的研究，在限制性N体问题中具有广泛的背景，其动力学稳定性长期以来是天体力学以及动力系统领域高度关注的研究课题之一。由于多尺度现象导致系统的退化性，经典的KAM理论并不适用于这类问题，因此多尺度哈密顿系统动力学基本问题的研究变得相当复杂。本项目组在前期工作的基础上，尝试发展适用于多尺度的KAM迭代技术，解决多尺度哈密顿系统的动力学基本问题，建立研究多尺度哈密顿系统KAM理论和有效稳定性的理论框架，探求共振情形下多尺度哈密顿系统低维不变环面的保持性，回答受人们关注的天体力学中的月球问题以及相关的N体问题。进一步，我们尝试利用多尺度KAM迭代技术和仿微分局部分析法建立多尺度无穷维哈密顿系统的KAM理论。

本项目主要研究多尺度哈密顿系统的KAM理论和有效稳定性。多尺度哈密顿系统在天体力学中具有重要的应用，譬如限制的三体问题和彗星问题等。多尺度哈密顿系统的动力学稳定性长期以来是天体力学以及动力系统领域高度关注的研究课题之一。由于多尺度现象导致系统的退化性，经典的KAM理论并不适用于这类问题，因此多尺度哈密顿系统动力学基本问题的研究变得相当复杂。本项目建立了多尺度Hamilton系统的KAM理论框架，解释了备受人们关注的天体力学中的月球问题，解决了天体力学中含有某些复杂共振情形的N体问题，证明了限制性三体问题中具有退化性的拉格朗日平衡点的稳定性；给出了多尺度Hamilton系统的有效稳定性分析，为天体力学中稳定性研究提供里理论依据；建立了时空耦合旋转周期解的存在性，为进一步理解涡流现象提供了理论支持；建立了时域电磁散射理论和流-固耦合散射问题稳定性分析，为地球物理勘探、地震预警、医学成像等提供理论支撑。