概周期时标以及分段周期时标上时滞动力方程解的定性分析及其应用

In the real world, an almost periodic change of almost all objects not only depends on the almost periodic status of the objects but also depends on almost periodic change of the time variables. Therefore, the study of the status with double periodicity of the objects has important practical significance. Since periodic time scales cannot describe the almost periodic change of the time variables, this project will break through the limitations that we can only study almost periodic problems on periodic time scales, and use almost periodic time scales to describe double periodicity, we will conduct the first qualitative analysis of solutions for delay dynamic equations which are established on almost periodic time scales and apply them. On the other hand, based on the new ideas of periodic decomposition theorem and periodic coverage theorem of an arbitrary time scale, a class of local delay dynamic equations will be established on an arbitrary time scale in this project. By using methods of functional analysis and Lyapunov stability functional,qualitative analysis of local solutions for a class of general delay dynamic equations on an arbitrary time scale will be conducted and applied, which will provide new ideas and methods to analyze delay dynamic equations on arbitrary time scales.

现实世界中，基本所有客体的概周期变化不但依赖于本身状态的概周期变化，而且其状态的概周期变化还依赖于时间上的概周期变化。所以，研究客体状态同时具有双重概周期性（包括状态和时间的概周期性）有重要的现实意义。由于周期时标不能描述时间的概周期变化，故该项目将突破传统在周期时标上研究概周期问题的局限，利用概周期时标刻画双重概周期性，首次对建立在概周期时标上的时滞动力方程的解进行定性分析，并加以应用。另一方面，基于任意时标的周期分解定理以及任意时标的周期覆盖定理的新思想，该项目将在任意时标上建立一些新的局部时滞动力方程。利用泛函分析的手段以及李雅普诺夫稳定性方法，对任意时标上一类广泛的时滞动力方程的局部解进行定性分析，并加以应用，为在任意时标上分析时滞动力系统提供新的思想与方法。

现实世界中，基本所有客体的概周期变化不但依赖于本身状态的概周期变化，而且其状态的概周期变化还依赖于时间上的概周期变化。所以，研究客体状态同时具有双重概周期性（包括状态和时间的概周期性）有重要的现实意义。首先，通过时标上的测度理论并结合拓扑方法，本项目获得了概周期时标的其他拓扑性质与测度性质，同时解决了概周期时标上时滞动力系统概周期解的存在性与稳定性问题，建立了可行有效的泛函方法以及构造Lyapunov函数的方法，以此为基础，获得了概周期时标上时滞动力系统具有双重概周期性的解的存在性与稳定性的充分条件。该研究成果为进一步研究概周期时标上的函数逼近以及动力方程提供了理论基础。其次，本项目研究获得了指标函数的更多性质，使其在分解任意具有有界粒型算子的时标的同时，可以划分出周期子时标的存在范围，从而可以立即从任意时标上的时滞动力方程中提取出子周期时标上所对应的时滞动力系统的局部概周期解。除此之外，我们还获得了有效的泛函方法以及Lyapunov函数方法来考察一般状况下任意时标上的时滞动力系统的概周期解的稳定性问题。该研究成果为在任意时标上开展动力系统解的概周期逼近提供了有效的研究方法。作为实际模型的应用分析，通过数值模拟的方法，结合所获得的理论，验证了本项目的所有研究结果适合现实世界的各种系统模型，并在生物动力系统以及神经网络动力系统方面加以了实践，得到了理论与实践相结合的研究结果。相关研究成果为所获理论应用于实际动力系统模型分析提供了有效的理论保证并为该研究方向的动力系统模型分析奠定了研究基础。