时滞脉冲方程周期解和概周期解研究

This project is mainly to study periodic solutions and almost periodic solutions of differential equations with impulses and time delays and its characterizations in the trend of population resource development and neural network control design. Mathematical ecology and neural network control design, whether at home or abroad is a hot research topic. The sufficient conditions or necessary and sufficient conditions of the existence, uniqueness and stability (including global asymptotic stability and exponential stability) of the solutions provide a theoretical basis for the development trends of the biological populations, resources prediction and the rational use and control, time delay neural network design and numerical computer simulations and so on. The theoretical basis is very important in the treatment equations with impulses and time delays. There are considerable achievements of the study about periodic solutions of delay differential equations with impulses, but a few works for almost periodic solutions which is still in initial stage. The project is a combine of the theoretical study and practical applications. Strive to guide practice by numerical simulations.

本项目主要研究既有脉冲又有时滞微分系统周期和概周期解及其在刻划种群资源发展趋势和神经网络控制设计中的应用。目前数学生态学和神经网络控制设计的研究无论在国内还是国外都是一个热点课题。脉冲时滞微分方程周期和概周期解存在性，唯一性，稳定性（包括全局渐近稳定性和指数稳定性）充分条件或充要条件为生物种群资源发展趋势的预测及其合理使用和调控、时滞神经网络控制设计及其数值计算模拟提供理论依据，这些理论依据在处理方程中既有脉冲又有时滞的情形更显其重要性。 目前国内外对既有脉冲又有时滞微分方程周期解的研究已经有了相当多成果，但对既有脉冲又有时滞微分方程概周期解的研究可以说还在起步阶段。该项目把理论研究和实际应用结合起来，力求通过数值模拟对实际有更多的指导作用。

众所周知，微分系统解的存在性，唯一性和稳定性始终是微分方程领域研究的热点课题。由于自然界中周期和概周期现象的重要性和普遍性，微分动力系统极限环、周期运动和概周期运动一直受到数学家和应用数学家们的重视。由于非线性动微分动力系统可以有非常复杂的周期和概周期运动，导致具体系统周期和概周期解结构判别仍是非常困难的问题。本项目主要研究既有脉冲又有时滞微分系统周期和概周期解及其在刻划种群资源发展趋势和神经网络控制设计等领域中的应用。对理论结果进行计算机模拟，给脉冲时滞微分方程周期和概周期解的研究提供了有力的工具。时滞微分方程周期和概周期解存在性，唯一性，稳定性（包括同步）理论在现实中有重要应用。目前国内外对既有脉冲又有时滞微分方程周期解的研究已经有了相当多成果，但对高维系统周期解的研究可以说还有许多困难。分支方法不可能对任意高维系统都适用。该项目利用推广的 N. Chafee 极限环理论研究任意高维系统的周期解，为高维系统周期解的研究提供了一个新的方法。