高维哈密尔顿系统拓扑不稳定性

We want to study the instability in high-dimensional Hamiltonian system through the method which combines variational approach with PDE method. The main goal including: 1. We shall study the generic existence of the unbounded orbits in classic mechanics system. This problem comes from J. Mather's conjecture about the existence of unbounded orbits in classic mechanics system and the Fermi particle acceleration problem in physics. To complete the task, we adopt the steps as follows: (1) We intend to prove the existence of the unbounded orbits in the mechanics system which comprizes the kinetic energy defined by flat metric and generic potential energy (dependent of time). (2) Furthermore, we intend to the existence of the unbounded orbits in the mechanics system which comprizes generic kinetic energy and generic potential energy (dependent of time). 2.We shall study the stability of elliptic fixed point with resonant frequency in the high-dimensional symplectic mapping or Hamiltonian system. (3) We want to study the stability of the barrier function by studying the corresponding viscosity solution and the former is the key point to study Arnold Diffusion by Mather Theory.

我们主要采取变分法和PDE方法结合的方法，研究高维哈密尔顿系统中的不稳定行为。我们的主要目标有：1.研究经典力学系统中无界轨道的通有存在性。这个问题来源于J．Mather关于经典力学系统无界轨道存在性的猜测和物理学中著名的费米粒子加速问题。我们拟通过以下两个步骤实现：(1)研究构型空间为n维环面时，由平坦度量定义的动能加通有势能（依赖时间）构成的力学系统中无界轨道的存在性。(2)进一步的，研究通有动能在通有势能（依赖时间）构成的力学系统中无界轨道的存在性。2.研究一般维度的辛映射或Hamilton系统的频率共振的椭圆不动点的稳定性问题。3.拟借助弱KAM理论，通过研究粘性解的稳定性问题来研究障碍函数的稳定性问题，后者是用Mather理论研究Arnold扩散最本质的困难所在。

哈密尔顿系统不仅在天体力学，统计力学，遍历论等方面有巨大的应用价值，也是光学和量子力学中的重要工具。而动力学的稳定性问题一直是动力系统研究的中心问题之一。在这个项目里，我们主要采取变分法和PDE方法结合的方法，研究高维哈密尔顿系统中的不稳定行为。我们的结果主要包括：1. 用变分法处理了Tonelli 系统里的（严格凸，超线性增长，流的完备性）下里的一些问题。包括先验稳定情形下多个自由度（大于或等于3）自治正定Hamilton系统中扩散轨道的通有存在性，时间周期拉格朗日系统里给定周期的周期解的存在性，该问题来源于Conley猜测以及在时间周期Tonelli 系统里，lax-Oleinik半群与平均作用量相关的收敛定理。2.结合变分法及PDE方法对Hamilton-Jacobi方程的粘性解进行研究。包括对接触Hamilton-Jacobi方程的长时间渐近行为条件的弱化以及经典Hamilton-Jacobi方程粘性解正则性相关条件的弱化。3. 对于Hamilton-Jacobi 方程的粘性解的奇点结构、奇点动力学的研究及其在哈密尔顿动力学上面的应用。我们对研究哈密尔顿系统中的不稳定行为的方法进行了各种探索，对这种现象的本质有了更深刻的认识，项目组已发表高质量论文七篇.