DNA超螺旋弹性杆模型的保对称性离散化方法及其数值计算研究

The aim of the project is to investigate the structure and dynamical property of DNA supercoiling by symmetry analytical methods and the numerical computation methods. The definition and expression of symmetries and conserved quantities of DNA supercoiling statics and dynamics are studied, the symmetry theory of two independent variables is formed, and the relations between symmetry and stable conformation of DNA supercoiling are discussed. The symmetry preserving discretizations for DNA supercoiling mechanics are studied and the invariants difference schemes for Kirchhoff and Cosserat elastic rods are constructed. The application of invariants difference schemes to DNA supercoiling is studied, numerical computation methods for studying the stability of DNA looping are developed, the effects of intrinsic curvature and twist to the buckling of DNA supercoil are studied, and the influences of electrostatic force, solution and self-contact to the stability of DNA supercoiling are analyzed.. The research of this project will explore new domain for the application of symmetry in biological dynamical systems, and present new methods and sights for the studying of DNA supercoiling mechanics.The research displays characteristics of counterpart for treating analytical solutions and numerical solutions. The results in this project are important for understanding the biological progress of DNA as well as the the deformation of thin elastic matters in engineering.

本项目旨在利用对称性分析和数值计算方法，研究DNA超螺旋稳态结构和动力学特性。研究DNA超螺旋静力学和动力学对称性与守恒量的定义及表示，形成双自变量对称性与守恒量理论，探讨对称性和守恒量与DNA超螺旋几何稳定构型的关系。研究DNA超螺旋力学的保对称性离散化模型，包括Kirchhoff弹性杆模型和Cosserat弹性杆模型，构造其不变差分方程并作数值验证。发展DNA超螺旋分子稳定性的数值计算方法，重点是DNA超螺旋分子环结构Cosserat模型稳定性的数值计算方法，探讨具有原始曲率和扭率细长Cosserat弹性杆的卷曲，以及静电力、溶液和自接触等因素对DNA分子稳定构型的影响。.本项目既为对称性理论在生物动力学系统中应用开拓新领域，又为DNA超螺旋力学的研究提供新的研究方法和思路，并体现解析求解与数值计算并重特色。对理解DNA分子生化过程及研究工程中细长体大变形问题有重要潜在意义。

本项目基于超细长弹性杆模型模拟DNA的几何构型及动力学特性，为解释DNA超螺旋结构与功能的关系提供参考，同时由于几何相似性，本项目的结果还可应用与工程中的油井钻柱、海底电缆，及生物医学领域的植物根茎的生长、导丝等的动力学分析。1) 研究了DNA超螺旋结构弹性杆模型的对称性与守恒量理论，包括弹性杆静力学动力学，Kirchhoff模型与Cosserat模型，探讨了守恒量与DNA分子稳定构型的关系。2) 研究了受非完整约束DNA超螺旋弹性杆的离散Noether对称性摄动和绝热不变量。3) 提出了DNA超螺旋弹性杆静力学的薛定谔粒子波动比拟，并进一步推广到Kavalevskaya杆，得到他们的一类椭圆函数解。通过数值计算求出其数值解。比较了解析解与数值解对应的杆的几何形态。4) 讨论了弹性杆平衡稳定性判定的共轭点方法。4) 考虑DNA受到溶液作用，研究了黏性流体中DNA超螺旋弹性杆稳定性与不稳定，并应用于分析扭转DNA环，直杆等的稳定性判据及失稳后的模态。5) 研究了黏性流体中生长弹性杆的稳定性的临界值。6) 研究了2-braids杆的动力学建模。本项目的研究为DNA超螺旋弹性杆模型研究引入新的分析方法和研究思路，又为分析力学方法特别对称性分析与守恒量在生物系统应用拓展了领域，具有科学价值。本项目的结果还可为工程中细杆状结构的动力学分析提供参考，具有工程意义。