刚性多尺度随机系统的若干数值计算方法研究

随着随机微分方程理论的发展和应用，人们越来越多地认识到对随机问题的研究不仅仅是对确定性理论的有效补充，更是人们对客观世界的本质的进一步认识。目前对随机问题的数值研究正在各个领域如火如荼的进行着，且不断有新的有意义的结果涌现。近些年人们研究发现，刚性随机系统不仅在物理、工程领域中起着重要的作用，还在金融和生物化学领域中扮演着十分重要的角色，尤其是一些时间多尺度随机模型。在此项目中我们拟研究刚性多尺度随机系统的一些基本数值问题。主要包括：（1）It?型刚性随机微分方程的Runge-Kutta方法研究；（2）刚性随机系统的Rosenbrock型方法研究；（3）随机波动率模型、随机滤波模型、化学朗之万方程等多尺度模型的数值方法研究。这些基本数值问题的研究，将加深人们对金融经济、系统工程、物理科学以及系统生物学等各个领域的随机现象的本质的认识，在实际的应用中有重要理论指导价值。

随着随机微分方程理论的发展和应用，人们越来越多地认识到对随机问题的研究不仅仅是对确定性理论的有效补充，更是人们对客观世界的本质的进一步认识。目前对随机问题的数值研究正在各个领域如火如荼的进行着，且不断有新的有意义的结果涌现。近些年人们研究发现，刚性随机系统不仅在物理、工程领域中起着重要的作用，还在金融和生物化学领域中扮演着十分重要的角色，尤其是一些时间多尺度随机模型。本项目主要致力于在现有的数值方法的基础上构造一些逼近随机常微分方程的解的更有效的数值方法，并得到了五个方面的结果：第一，给出了随机Runge-Kutta方法保持二次不变量的条件；第二，我们考虑了在一个合理的方式下如何分配政府的有限资源才能有利于经济的发展和国防的稳定，在确定情形和随机情形下,我们分别给出了相应的微分对策；第三，对变系数延迟偏微分方程，我们构造了一类Crank-Nicolson格式，并证明了其收敛性和无条件稳定性；第四，对倒向随机微分方程我们构造了一类单参Euler格式，并证明了它的收敛性；第五，我们还研究了非线性代数方程的数值解法。