非线性波动系统孤立子与爆破解的动力学行为

研究带势的非线性Schrodinger方程，非线性Klein-Gordon方程，Zakharov型方程及相关非线性椭圆方程. 这些方程是描述玻色-爱因斯坦凝聚、量子理论及相关数学物理问题的基础数学模型. 用变分法研究发展系统的孤立子和爆破解与非线性椭圆方程解之间的内在联系. 针对系统特点，构造多种恰当的泛函和约束变分问题，并综合利用相关紧性原理求解变分问题及其变分特征. 利用变分特征及系统的适定性构造发展系统的不变集. 通过不变集和变分特征讨论非线性波动系统整体解的动力学性质，包括具各种频率孤立子的稳定性，并根据稳定性以孤立子为主成份对整体解作分解，勾勒其动力学行为. 利用变分问题的解及变分特征刻画非线性波动系统爆破解的动力学行为，包括最小爆破解的构造、爆破速率、爆破点集的拓扑结构、质量集中性及集中速率，并达到对爆破解图景的全景描述与数值表达.

该项目研究了带势的非线性Schrodinger 方程、具有能量临界幂的非线性Schrodinger 方程、具有非局部项的非线性Schrodinger 方程、Davey-Stewartson系统、随机波动方程等非线性波动系统的Cauchy问题, 这些问题出现在量子力学及经典场理论中. 我们以上述系统的局部适定性为基础，提出了“用不带势方程变分特征刻画带势方程解的动力学性质”、“交叉强制变分”等研究方法，形成了以现代变分法为依托，利用Profile分解理论研究系统的孤立子特征，进而，把非线性波动系统的整体存在性和爆破性质与基态孤立子有机联系起来的工作框架，得到了一系列关于非线性波动系统解整体存在与解在有限时间爆破的最佳门槛条件、孤立子解的存在性与轨道稳定性以及爆破解的动力学性质. 此外，我们还利用数值技术研究了某些孤立子的精确表达式. 在该项目执行过程中，我们已发表论文24 篇，其中22 篇论文被SCI收录. 同时，培养了两名博士研究生.