微分动力系统中的维数理论以及重分形分析

This proposal will be divided into three parts. First of all, given $C^1$ diffeomorphism, we will give the estimates of the lower and upper pointwise dimension for an invariant measure with dominated splitting, and the relations between the fractal dimension of the measure and other invariants of the system. Moreover, we will study the existence of the pointwise dimension for a hyperbolic invariant probability measure with dominated splitting under some assumptions, which is still an open problem in dimension theory of dynamical systems and is often referred to as the Eckmann-Ruelle conjecture. Secondly, we will investigate the Hausdorff dimension of the average conformal hyperbolic set of $C^1$ diffeomorphism. Thirdly, we will effect a complete multifractal analysis of the non-linear dimension spectra for conformal repellers and average conformal repellers..The applicant committed to dimension theory of dynamic system and ergodic theory. And we have gotten some interesting results in this field, which ensure the proposal in progress and quality.

本项目主要致力于三个方面的研究。其一是对$C^1$微分同胚，估计具有控制分解的非双曲不变测度的下点维数和上点维数，以及它们与系统其它不变量之间的关系。进一步，在一定的条件下讨论具有控制分解的双曲不变测度的点维数的存在性，也即Eckmann-Ruelle猜测是否成立？其二是讨论$C^1$微分同胚的平均共形双曲集的Hausdorr维数是否等于它限制在稳定方向上的Hausdorff维数与不稳定方向上的Hausdorrf维数之和。其三是研究$C^1$共形排斥子以及平均共形排斥子上相应的多重分形分析。. 申请人致力于动力系统维数理论与遍历理论的研究，已经在这方面得到若干有趣的结果，这将为本项目的创新成果提供保证。

在动力系统领域中不变集（例如排斥子、双曲集）的维数扮演着重要的角色，由于它跟集合内部结构有关，所以具体计算时并不简单。对于可逆或者非可逆的共形动力系统已有相当丰富的结果，例如Bowen、Ruelle、Gatzouras、Peres、Barreira、Schmeling、Climehaga 等人的一些研究工作。对于非共形不变集的研究较共形不变集来说更加困难，因为非共形排斥子（或者双曲集）上各个方向的扩张或者压缩的程度不一样，从而增加了问题的难度。本项目研究的动力系统是C1微分同胚，第一个研究内容是平均共形双曲集的Hausdorff维数、下盒维数和上盒维数。第二个研究内容是由满足一定条件的双曲的遍历不变的概率测度构造一列双曲马蹄集，且双曲马蹄集上有控制分解和相应的Lyapunov指数逼近。. 本项目取得了两个重要结果：. 1、C1-平均共形双曲集的Hausdorff维数、下盒维数以及上盒维数都相等，且等于双曲集限制在不稳定流形与双曲集限制在稳定流形上的维数和。进一步，双曲集的Hausdorff维数、下盒维数以及上盒维数连续依赖于动力系统。证明过程中主要用到非可加势函数的拓扑压的性质和稳定流形、不稳定流形的一些几何性质。. 2、考虑C1微分同胚f，假设双曲的遍历不变的Borel概率测度\mu的测度熵大于0，且在Oseledec 盆上切空间的分解（每个Lyapunov指数所对的子空间）是可控制的，则在测度\mu的支撑集的任意邻域中存在双曲集，且f限制在双曲集上的拓扑熵逼近测度熵，即推广了Katok构造双曲马蹄集的结论。进一步也即该结果的核心内容：在每个双曲集上有对应于Oseledec子空间的控制分解，且在对应的Oseledec子空间上有Lyapunov指数逼近。证明过程中我们主要用控制分解的性质得到锥的不变性，用C1非一致双曲系统的性质得到限制在每个子空间上的Lyapunov指数逼近。该结果可以用来进一步研究双曲马蹄集限制在不稳定流形上的Hausdorff维数的性质。. 本项目主要是将维数理论中的一些问题的光滑性条件由 C1+r 降为 C1，将共形排斥子(双曲集)上的一些结果推广到非共形排斥子（双曲集）上，且空间维数由低维变成高维情形，这些问题都是维数理论中的重要问题，我们取得了一些有意义的结果。