一致维数与分形齐性中的若干问题

The project studies some questions on uniformity dimension and homogeneity of fractals. The uniformity dimension is a natural dual to the well-studied Assouad dimension, and they are useful tools for studying the homogeneity of fractal sets. Our focus in this study is to answer the following relatively individual but highly related questions. 1) The basic properties of the uniformity dimension and the relationship with other dimensions. By obtaining the new equivalence definition orexplicit formula of the uniformity dimension under certain conditions, westudy the properties of the uniformity dimension, the relationship with other dimensions, and the dimension of the image set under certain transformations.2) The calculation and properties of the uniformity dimension of some typical fractal sets. Obtain the formula of uniformity dimension of Moran sets, obtain the formula of Assouad dimension and uniformity dimension of general Cantor sets, and study their properties.3) characterization of homogeneity of fractal set. Seeking the conditions ensuring the existence of upper-and lower-homogeneous measures, study the relationship between uniformity dimension and their homogeneity index. The above research problem is still in the initial stage, and many basic problems are not solved, especially the lack of effective research methods. These research questions are cuttingedge in international fractal geometric research. They also reflect the overlapping of fractal geometric, geometric measures and dimension theories. It not only requires the merge of methodology of different disciplines, and also developing new methods and techniques. It has important significance for further enriching and advancing fractal geometric, geometric measures and dimension theories.

本项目拟研究一致维数与分形齐性中的若干问题。我们将研究和拟解决下面几个相对独立但密切相关的问题。1）一致维数的基本性质及与其它维数的关系，通过给出新的等价定义或一定条件下的一致维数公式，研究一致维数的性质、与其它维数的关系及某些变换下像集的维数等。2）典型分形集的一致维数的计算及性质，给出Moran集的一致维数公式、给出一般Cantor集的Assouad维数和一致维数公式，研究它们的性质；3）分形集的齐性刻画。寻求Moran集和一般Cantor集上存在上 c_s-齐性测度和下a_s-齐性测度的条件，研究一致维数与它们的齐性指数的关系。上述问题的研究还处于起步阶段，特别是缺乏有效的研究方法。它们既是国际分形几何的研究前沿,也体现了分形几何、几何测度论和维数理论的交叉，不仅需要融合不同学科的思想方法，还需要发展新方法和技巧，它对丰富和推进分形几何、几何测度论及维数理论的发展具重要意义。

进行该课题以来,在一致维数理论及应用等方面取得系列重要成果,在国际期刊上发表论文24篇。在一致维数理论研究方面，对于加倍度量空间中的一致完全集，我们得到与下Assouad型谱紧密相关的两个定义之间的变分结果，给出拟下Assouad维数一个等价定义。另一方面，存在一致完全集，尽管下Assouad谱极限存在，但它不等于其下盒维数。进一步，用Cantor剪切集为例，说明这种新的拟下Assouad维数的定义更广泛和明确，并且下Assouad维数能严格小于下Assouad谱和拟下Assouad维数。用一致维数，我们证明对于数字限制集，Assouad 维数等于1当且仅当其含有任意长算术序列。对Engel 连分数，证明了其大、中偏差原理成立，确定了若干相关集合的Hausdorff维数。我们证明：对几乎所有的x收敛因子以β的指数阶收敛到x，接着分别对其指数大于1和小于1的情形，完全刻画了点x的收敛因子以该速度收敛到x的点集的测度。进一步，将这些结果成功地应用到实数在β−变换作用下轨道的增长速度问题、β−变换的收缩靶问题、β−展式的Diophantine逼近问题以及β−展式的run-length函数的性质等。我们研究Borel正规数定理的例外集与Erdos-Renyi集的交，得到其Hausdorff维数的精确表示，推广并包含了已有结果。Williams在1973年导出两个有趣的自然的离散Morkov过程，分别称为C-过程和A-过程，Williams还证明了这两个过程共享经典的极限定理，比如大数定理、中心极限定理和迭代对数律。我们研究这两个Morkov过程的大偏差，证明了在大偏差意义下C-过程和A-过程是不同的过程。