测度的重分形分析及相关问题

The project studies multifractal analysis of measures and related issues. It is an important research topic in fractal geometric theories and application, and also attracts wide attention among various researchers. Our focus in this study is to answer the following relatively individual but highly related questions. 1) multifractal gauge and classification sets by multifrctal spectrum, which includes finding the necessary and sufficient conditions of its multifractal branch with gauge that is for certain regularity measures. It also includes studying the size, structure and property of multifractal branch with gauge function; use multifrctal spectrum to classify set. 2) The change of property of fractal measures made by quasisymmetrically mappings. It mainly focuses on the multifractal spectrum and dimension of fractal measures changes under quasisymmetrically mappings. 3) The multifractal rigidity, analyzes factors and conditions of generating multifractal rigidity and non-rigidity phenomenon for relatively good measure. These research questions are cutting edge in international fractal geometric research. They also reflect the overlapping of fractal geometric, geometric measures and quasisymmetrically mappings theories. It not only requires the merge of methodology of different disciplines, and also developing new methods and techniques. It has important significance for further enriching and advancing fractal geometric, geometric measures and quasisymmetrically mappings theories.

本项目研究测度的重分形分析及相关问题，是一个分形几何理论及应用中的重要研究课题，也是国内外同行所关注的研究热点。我们将重点研究和拟解决下面几个相对独立但密切相关的问题。1）重分形量纲及分类，包括对具有一定正则性的测度寻求其重分形分支具有重分形量纲的充要条件，研究带量纲函数的重分形分支的大小、结构及性质，用重分形谱对集合分类。2）拟对称映射对分形测度性态的改变，主要研究分形测度在拟对称映射下重分形谱及维数的变化。3）重分形纲性，对一些相对好的测度研究产生重分形纲性现象和非纲性现象的因素和条件。这些问题既是国际分形几何的研究前沿,也体现了分形几何、几何测度论和拟对称映射理论的交叉，不仅需要融合不同学科的思想方法，还需要发展新方法和技巧，它对进一步丰富和推进分形几何、几何测度论及拟对称映射相关理论的发展具有十分重要的意义。

进行该课题以来，在测度的重分形分析及分形集的分类、动力系统中的重分形问题方面取得系列重要成果,在国内外重要刊物上发表论文23篇,其中SCI收录23篇、国际期刊20篇。我们对一类广义Cantor集，用间隔和间隔数序列给出其Hausdorff和Packing测度及维数的刻画；证明了其有一个连续凸的量纲函数，用量纲函数给出广义Cantor集的三种分类及分类的等价条件刻画；进一步，对支撑在其上的概率测度，研究了带量纲函数的局部维数、重分形分解及相关的分类问题。对度量空间中Borel测度，给出了关联维数的积分形式和离散形式表示，证明了其是拟-Lipschitz不变量；研究了测度的关联维数和Hausdorff维数之间的关系及二者相等的充分条件；给出一类Moran结构集上的Borel测度的下上局部维数的刻画。研究了几种类型的例外集的测度、维数及拓扑性质，比如Erdos和Renyi极限定理的例外集、[0,1]中点x关于序列{qn}的Cantor展式的例外集、数的β-展式中与基本区间的长度有关的收敛速度和速率的例外集、直线上点沿格点随机行走前n步回复到原点的次数的增长速率有关的例外集、紧度量空间上与Birkhoff平均的各种收敛性有关的例外集等。我们将连通加倍空间到加倍空间的拟对称映射是弱拟对称映射的结果推广到紧一致完全集，给出了其在一维广义Cantor集中的应用；并对几何正则的拟对称等价的一维广义Cantor集之间的拟对称映射给出了等价刻画。对一类广义Cantor集给出了用加倍测度分类的等价刻画。研究实数的β-展式和连分数展式的基本区间的关系中出现的随机变量序列{K_n (x)}，当β=10时，Lochs 得到时{K_n (x)}的强大数定律、Faivre和Wu得到{K_n (x)}的中心极限定理和重对数率，对β是非整数时，已有方法失效，我们对任何β>1，得到了{K_n (x)}的中心极限定理和重对数率。我们定义了一种包含经典连分数的随机连分数。给出关于随机连分数的Lévy常数的极限定理，该结果推广了Lévy关于Lévy常数的定理，并且给出了其依测度收敛到Lévy常数的收敛速度。