Ahlfors-David正则集与齐性分形

Ahlfors-David regular set is a kind of important fractal whose definition is not constrained by the concrete and complicated construction but in virtue of the measure supported on its. We plan to study two content：（1）Lipschitz equivalence and embedding of Ahlfors-David regular sets. Various techniques will be developed in order to consider the Lipschitz equivalence of regular set. We will also study the embedding of regular set by characterizing the equivalence between “fine” subsets of different regular sets.（2）The properties of homogeneous fractals including dimension, equivalence, embedding and so on. These homogeneous fractals can involve all regular sets and most of Moran sets. And the measure supported on them can be equipped with many important features such as homogeneity, uniformly perfectness and doubling property. Differing from the iterated function system, “MEASURE” will become the angle from which this research project is carried out, which not only can enrich the research object of fractal geometry but also can，in virtue of tools of geometric measure theory，further explore the geometrical features and rich constructs of classic fractals..

Ahlfors-David正则集是一类重要的分形集合，它的特点是从支撑在集合上的测度出发进行定义，而并不拘泥于集合具体的复杂构造。本项目计划研究两方面的内容：（1）Ahlfors-David正则集的（拟）Lipschitz等价和嵌入问题。我们将针对维数的不同范围，发展不同的研究技巧考虑正则集的（拟）Lipschitz等价。我们也将通过刻画不同正则集的某些“好”子集（例如满维或正测）之间的等价关系，研究正则集的嵌入问题。（2）由正则集发展出来的一类齐性分形的性质，包括它的维数、嵌入和等价问题。这类齐性分形将包括所有的正则集和大部分的Moran集，其上测度也将充分体现均匀性、一致完全性、加倍性等特征。区别于迭代函数系，本项目从“测度”这一全新的视角开展正则集的研究，不仅能扩展和丰富分形几何的研究对象，并且通过借鉴几何测度论的工具，也能更好地挖掘各种经典分形的几何特征和丰富结构。

本研究的第一部分回答了这样一个问题：对于维数相等的Ahlfors-David正则集，有哪些“好”的子集能被互相等价嵌入？另外，Moran集是中国分形学派的代表工作备受关注。人们关心Moran集的结构如何，以及能在多大的程度上保持自相似集的性质。既然满足开集条件的自相似集是正则的，那么我们也回答了以下问题：Moran集在什么条件下是正则的？ Moran集是否包含一个正则子集？ 本研究的第二个研究对象是分形集结构中的分离条件。分形集某些重要特征的考察都大都基于某种分离条件，而判断分形集是否满足各种各样的分离条件就成为了一个比较关键的问题。但令人遗憾的是，由于分形集本身的复杂性，使得问题也变得异常的困难。本研究使用图论的技术手段，构建了判断一类由基于P.V.数的迭代函数系统生成自相似集是否满足开集条件、强分离条件等性质的算法，并通过一些实例验证了这种算法的有效性。本研究的第三个部分涉及分形性质在复杂网络中的应用。我们基于Sierpinski地毯，构建了VAF分形网络来作为社会经济发展中出现的某些特殊网络结构的理论模型。并使用分形几何中的研究方法，刻画了这类网络的小世界效应和无标度特征。通过理论计算和实验仿真同时进行、相互印证的研究方法，估计了网络的度分布特征、聚集系数、平均路径长度等参数，为真实网络的研究提供了可靠的模拟框架。