重分形理论及应用中的若干问题

本项目的研究内容主要涉及测度的重分形分析、动力系统中的重分形谱及重分形理论在金融中的应用，是一个分形几何理论及应用中的重要研究课题，也是国内外同行所关注的研究热点。1）我们将分类、系统深入地研究一般Moran测度的局部性质及重分形性质、各种维数谱的计算、它们之间的关系、其重分形机理成立的条件；当其支撑无正则性时，其重分形维数谱的合理的解释、计算等。2）研究无限型子平移上Gibbs测度的各种重分形谱，进而寻求点态维数的熵谱和局部熵的维谱的计算方法。3）通过引入一个新的随机过程，建立一个具有重分形结构的股票价格模型，即混合重分数student股票价格模型，研究在不同标度下，股市收益可预测的能力，计算收益率的重分形维数，利用其重分形维数与Hurst指数之间的关系估计股市风险的大小，并通过实证分析，修正参数改进拟合效果。这些问题相对独立但密切相关，具理论及应用双重重要意义。

进行该课题以来,在重分形理论及应用以及分形集的Lipschitz等价方面取得系列重要成果,在国内外重要刊物上发表论文21篇,其中SCI源文献20篇、国际期刊18篇。在重分形理论研究方面，首先对满足开集条件的自相似测度,证明了其发散点集与其支撑集的Hausdorff维数相等,改进了Barreira等人在强分离条件下的结果;随后研究了发散点集的结构，证明了发散点集不是孤立点集既是一闭区间，在发散点集为闭区间时，确定了发散点集为闭区间的点所成之集的Hausdorff维数。解决了Olsen 和Winter的一个猜想。这一结果也扩展了Arbeiter 和Patzschke的关于自相似测度在开集条件下重分形分析的经典结果。进一步,证明了该集是剩余集。对一类非正则的Moran集，研究了其重分形形式。对中间空隙小于压缩比的Cantor集, 分别给出了Cantor测度的上、下点态密度的明确公式,并对公式中的关键量给出了刻画。对不满足开集条件的自相似测度, 我们给出q≦1 时上、下Lq- 谱的非平凡的上、下界估计(q≧1的情形相对简单)。关于分形集的Lipschitz等价性的研究方面, 我们证明了直线上Hausdorff维数为1的一类相当广泛的Moran集都是拟对称极小集，并且得到了一个计算直线上Moran集的Hausdorff维数的更广泛的公式。进一步,我们研究了一类由嵌套方块模式生成的分形集的Lipschitz等价性，其结果较完整解决了David和Semmes提出的问题。我们还证明了一类三角形模式生成的自相似集的Lipschitz等价性。我们证明了直线上一类Moran集是关于Packing维数的拟对称极小集。对满足specification性质的拓扑动力系统,证明了不满足Birkhoff遍历定理的点集或者是空集或者是剩余集, 计算了Birkhoff平均的精细不正则集的拓扑熵，给出了Birkhoff 平均的不正则点集具有满拓扑熵的一个简洁证明。关于重分形在金融中的应用研究方面,研究了当股票价格服从分数Black-Scholes,分数长记忆随机波动率及分数Student's t-distribution模型下的期权定价.通过“锚定-调整”论述，得到了欧式期权的定价公式及及期权的最小价格；讨论了交易费、分形标度与隐含波动率微笑之间的关系。并用重分形观点解释了期权的隐含波动率微笑现象。