高阶结构、上同调及其在数学物理中的应用

With the development of quantum field theory, gauge theory and superstring theory, higher structure become an important research field in modern mathematics. Higher structures, such as L-infinity algebras, Courant algebroids, n-Lie algebras, Leibniz algebras have many applications in mathematical physics. The goal of this project is to built cohomology theory for higher structures. We will focus on their deformation cohomology, extension and construction theory. We wish our research will provide new insight into higher structures.

受量子场论、规范理论和超弦理论中的问题驱动，高阶结构是近年来数学发展的一个重要方向。它与数学和物理的许多领域都密切相关，因而成为当前的研究热点。本课题主要研究对象为高阶代数结构，内容包括L-无穷代数，Courant代数胚，omni-李代数和n-李代数,Leibniz代数等等。我们主要研究他们的上同调理论、形变和扩张，为其进一步发展和在泊松几何和数学物理方面的应用奠定严格的数学基础。同时，我们对它们性质和分类问题进行研究，可以推广已有的结果，丰富高阶结构的研究内容。

本课题主要研究对象为高阶代数结构，包括Hom-Lie-Rinehart代数，Courant代数胚，Hom-Lie-Yamaguti代数和高阶omni-李代数胚等。主要研究内容和结果分为以下三个方面。1． 作为Hom-Lie algebroids的代数化，定义了Hom-Lie-Rinehart代数的作用、Hom-Lie-Rinehart代数的交叉模和cat1-Hom-Lie-Rinehart代数的概念。证明了Hom-Lie-Rinehart代数的交叉模与cat1-Hom-Lie-Rinehart代数存在着一一对应。2．定义了一般Hom-Lie-Yamaguti代数的表示、上同调，给出Hom-Lie-Yamaguti代数上同调的上边缘算子的具体形式。根据这个上同调，讨论(2,3)-阶上同调群在Hom-Lie-Yamaguti代数的形变和Abelian扩张中的作用，证明了(2,3)-阶上同调群的元素与Abelian扩张的等价类之间存在一一对应。3．给出高阶omni-李代数胚的一个适当的定义，研究了它的Dirac结构。作为例子，讨论了平凡线丛上的高阶omni-李代数胚，说明它的Dirac结构和A. Wade在2000年定义的Conformal Dirac结构之间联系。这些研究成果具有一定的广泛性和创新性，为进一步深入探讨高阶结构奠定了基础。.