Hardy空间与BMO空间在图像正则化模型中的应用研究

Image processing based on mathematical theory and method is the focus of domestic and foreign studies, it has great meaning for remote sensing, military affairs, aerospace, medical imaging and so on. Wavelet method and variational method have been active in image processing for many years and have wide application in almost all of the image processing fields. This project takes the inverse problem in image processing as research background, establishes the image regularization model by studying the image regularization mechanism of Hardy space and BMO space, and solves the model efficiently in wavelet domain using dual method and the discrete wavelet representation of the norms. This can solve the problem that the traditional model was hard to solve quickly. Meanwhile based on the distinction of local oscillatory property between texture and noise at different scales, this project takes advantage of the BMO norm and local variance measure to muti-scale characterize the texture and noise components, and therefore puts forward a new way of thought for denoising of texture images. The project is conductive to expand and enrich the application of oscillating function space modeling theory in image decomposition, and is also important for the subtle characterization of image component and rapid calculation of the model.

基于数学理论与方法的图像处理是目前国内外研究的热点，它对于遥感、军事、航空航天、医学影像等应用有着重要的意义。小波分析和变分法是一直活跃在数字图像处理中的两种方法，在几乎所有的图像处理领域都有广泛应用。本课题以图像处理中的反问题为研究背景，通过研究Hardy空间和BMO空间对于图像的正则化机理建立图像正则化模型，并且利用函数空间范数的离散小波表示和对偶方法将模型在小波域中快速求解，可以解决传统相关模型难以快速求解的问题；同时， 基于纹理和噪声在不同尺度上的局部震荡特征的差异，利用BMO空间刻画图像的局部震荡特征来建立区分纹理和噪声的图像分解模型并求解，从而为纹理图像的去噪问题提供新的思路。课题有助于拓展和丰富震荡函数空间建模理论在图像正则化中的应用，对于图像形态成分的精细刻画以及快速求解具有重要意义。

通过本项目的研究，我们将经典调和分析中的Hardy空间与BMO空间应用于图像恢复的正则化建模与求解。一方面，具体研究了Hardy空间的小波刻画，以及该范数的离散小波表示，提出了基于Hardy空间 H1 范数的正则化模型，并且对模型做了理论分析，基于不动点迭代算法对模型在小波系数域中求解。研究表明离散的H1范数不仅能够保持模型解的近似稀疏性，而且能够保护图像的细节成分。另一方面，我们研究了BMO空间的小波刻画，以及二进BMO范数的离散小波表示，提出了一种带有二进有界平均震荡约束的图像恢复模型，并利用二进BMO范数的离散小波表示，将模型转化到小波域，并利用Lagrange乘子方法和dual Uzawa方法进行求解，研究了算法的收敛性分析。本项目基本解决了预期提出的科学问题，不论是对于计算与调和分析领域还是对于图像处理领域都有重要意义。