Riemann-Hilbert方法和扰动Laguerre随机模型的一致渐近

Random matrix theory was introduced to the theoretical physics community in 1950s. Since that time, it not only has became extremely active in many research fileds such as mathematics and physics but also has many important applications in wireless communication.Based on some modern mathematical methods in integrable systems, orthogonal polynomials and Riemann-Hilbert approach, the core of this porject is to study analytical properties of related statistics of large dimensional random matrices in wireless communication model.There are three objects as follows: 1.With the aid of nonlinear steepest descent method and Painleve equations, we study uniform asymptotics of the extreme eigenvalues distribution of large dimensional random matrices.2.Based on the theory of integrable systmes and Riemann-Hilbert mehtod,we study the realations between distribution of the extreme eigenvalues ratio of random matrices and tau-functions of integrable systems, and its uniform asymptotics behavior.3.Theories of orthogonal polynomials, integrable systems and Riemann-Hilbert approach are used to study integrable structure of the condtion number distribution of large random matrices, and uniform asymptotics behavior of the distribution.Morover, above results will be applied to spectrum sensing algorithm in wireless communication model.

随机矩阵理论是目前国内外十分热门的研究领域，在物理，数学和无线通讯等有着广泛的应用。本项目主要利用可积系统，正交多项式理论和Riemann-Hilbert方法等现代数学工具研究无线通讯模型中大维数随机矩阵有关统计量的分布及其一致渐近：1.基于非线性速降法和Painleve方程，研究随机矩阵极端特征值分布的一致渐近。2.基于可积系统的方法和Riemann-Hilbert方法，研究随机矩阵极端特征值比值分布与可积系统Tau函数的关系及其一致渐近。3.基于正交多项式，可积系统和Riemann-Hilbert方法，研究随机矩阵条件数分布的可积结构及其一致渐近性。将上述结果应用于无线通讯频谱感知算法。

我们对源于无线电通讯的随机矩阵模型的可积结构和一致渐近性质进行了研究。我们采用Deift-Zhou非线性速降法研究了带有扰动Laguerre权的酉系综随机模型的关联函数的双尺度极限，通过介入双尺度，得到关联函数的双尺度极限可以用与第五类潘勒韦方程相关的辅助函数来进行刻画。当参数趋近于零时，关联函数的极限退化成阶数为a的Bessel核；当参数趋近于无穷时，关联函数的极限可退化成阶数为b的Bessel核。在双尺度意义下，我们研究了上述带有扰动Laguerre权的Hankel行列式，利用三阶非线性微分方程的解给出Hankel行列式一致的逼近，并且此非线性微分方程等价于特殊的第五类潘勒韦方程。在此基础上，证明了扰动Laguerre权的正交多项式的首项系数和三项循环系数都可以用第五类潘勒韦方程的解来逼近。. 利用非线性速降法对Pollaczek-Jacobi型正交多项式进行了分析，得到了正交多项式在整个复平面不同区域，各自的一致渐近展开式。在谱的左端点处，根据相应参数的变化情况，可以分别用Airy函数和阶数为a的Bessel函数来表示；在右端点处，由阶数为b的Bessel函数来表示。此外，Pollaczek-Jacobi型正交多项式的三项循环系数以及首项系数，皆可由第三类潘勒韦超越函数来表示。在此基础上，我们发现在双尺度极限意义下，Hankel行列式的极限做一个平移变换，便等价于可积系统里的Tau 函数，而且也可以由第三类潘勒韦方程的解来表示。