分数阶算子理论及其应用

The theory of fractional operator is an important subject in Harmonic Analysis and PDEs. In recent several years, because of the outstanding work about the extension problem of fractional Laplace operator of L. Caffarelli and L. Silvestre, this kind of operators became one of the most famous operators in Harmonic Analysis and PDEs. In the doctor period of the applicant, I worked with J. Torrea, T. Ma and P. Stinga. We used the diffusion semigroup theory to get the regularity of the fractional Schrodinger operators and the Harnak's inequalities of some fractional operators related with Laplace opetator. The applicant of this project wants to continue this kind of research. For example, (i) the relationship of the solution of fractional Laplace equation and its boundary value, (ii) give a characterization of Lipschitz martingale spaces by using harmonic extension, (iii) the regularity of the obstacle problem of the fracitional Schrodinger operators.

关于分数阶算子理论的研究是调和分析和偏微分方程理论中的重要课题之一。近年来，由于L. Caffarelli 和L. Silvestre 所做的关于分数阶Laplace算子延拓问题的工作，这种类型的算子已经成为调和分析、偏微分方程中最著名的算子类型之一。他们解决问题的思想为分数阶算子理论的研究带来了巨大的活力。申请者在博士研究期间，与J. Torrea， T. Ma 和P. Stinga合作，利用扩散半群理论对分数阶Schrodinger 算子的正则性、与Laplace算子相关的一些算子的分数阶算子的Harnack 不等式进行了研究。本项目申请者将继续这方面的研究。 研究内容包括:（i）分数阶Laplace方程解与其边界值的关系问题；(ii) 利用调和延拓对Lipschtz鞅空间进行刻画；(iii)与Schrodinger算子相关的障碍问题的正则性。

关于分数阶算子理论的研究是调和分析和偏微分方程理论中的重要课题之一。近年来，由于L. Caffarelli 和L. Silvestre 所做的关于分数阶Laplace算子延拓问题的工作，这种类型的算子已经成为调和分析、偏微分方程中最著名的算子类型之一。本项目组在执行本项目研究期间主要做了如下研究内容（1）利用调和延拓对Lipschtz鞅空间进行刻画, 并给出了该刻画的一些应用, 如鞅变换算子、均方算子在Lipschitz鞅空间上的有界性；（2）研究了与无穷乘积相关的极大算子的加权不等式.这两部分研究成果分别发表在中国科学、Colloquium Mathematicum等杂志上。对于鞅空间理论及调和分析的加权理论起到重要的推动作用。