算子族理论在非线性分数阶微分方程中的若干应用

Nonlinear fractional differential equations or integrodifferential equations have recently proved to be valuable tools in the modeling of many phenomena in various fields of physics, chemistry, biology, engineering and economics. Now many researchers focus on the well-posedness of fractional differential equations. In this program, we will study the well-posedness of nonlinear fractional differential equations by using the theory of operator families. Using two evolution families, we will study the well-posedness of the nonautonomous fractional abstract Cauchy problems and fractional differential equations with infinite (or finite) delay, respectively. We study the well-posedness of fractional differential inclusions with nonlocal delay and impulsive fractional differential equations by using two resolvent families, respectively. Moreover, we will discuss the existence or existence and uniqueness of mild solutions for fractional differential equations with singular operators by using some special operator semigroups. Based on above studies, we will study more complicated nonlinear fractional differential equations. This program will enrich and develop the theory of fractional differential equations, which can be applied to solve more practical problems.

非线性分数阶微分方程或积分微分方程已成为一种刻画物理、化学、生物、工程、经济等许多不同领域中实际问题的有利工具。关于该类方程的定性研究已成为当前研究的热点之一。本项目将算子族理论应用到该类方程的研究中，拟利用两类发展算子族分别研究某类非自治分数阶微分方程的Cauchy初值问题以及无限或有限延迟等问题的适定性，利用两类预解算子族分别研究带非局部延迟(无限或有限延迟)的分数阶微分包含问题和某类分数阶脉冲微分方程的适定性，以及利用某类特殊半群研究含奇异算子的分数阶微分方程的mild解的存在性或存在唯一性。在此基础上，还将进一步研究其他更复杂的非线性分数阶微分方程。本项目的研究将丰富和完善分数阶微分方程理论，使其能更好地解决具体的实际问题。

与整数阶微分方程相比，分数阶微分方程的研究有一定难度，方法技术上有本质上的不同。本项目利用算子半群这一工具研究了若干类型的分数阶非线性微分方程(mild)解的存在性以及其他相关性质。我们的研究分以下三方面：（一）我们分别利用一类特殊半群，一类发展算子族，含概率函数的一类预解算子族，二阶强连续预解算子族等作为工具，在较弱条件下研究了（1）一类带奇异算子的延迟分数阶非线性微分方程；（2）一类非自治分数阶微分方程的初值问题；（3）Banach空间中分数阶含脉冲的积分边值问题；（4）带有限延迟的中立型分数阶微分包含问题；（5）二阶带非局部延迟的脉冲微分方程；（6）含非局部初值的分数阶微分方程；（7）带有限延迟的分数阶脉冲方程，得到了上述方程（mild）解的存在性（或存在唯一性）定理，并将其应用到具体方程的研究中。（二）我们研究了一些分数阶微分方程(mild)解的性质，如全局吸引性，解的S-周期ω-渐近性等。（三）我们研究了卷积正则一阶和二阶算子族的扰动性质，为其运用到分数阶微分方程的研究中做好理论准备。本项目的研究丰富和发展了分数阶微分方程理论，其中的研究技巧可以运用到更多的关于分数阶微分方程的研究中。