基于非标准基底的高效谱配置法研究及其应用

The spectral collocation methods have some advantages over the spectral method using modal basis functions in dealing with variable coefficient and/or nonlinear problems. But ill conditioned differentiation matrices causes severe degradation of expected spectral accuracy. How will we consruct new interpolation basis to better condition numbers and keep stabilization of numerical results? It is a challenge .This project is to investigate well-conditoned collocation methods based on nonstandard basis functions on unbounded domains and their optimal error estimation, to study fourization of spectral collocation methods by constructing new interpolation basis from differential equations, to discuss their applications in Helmholtz problems and fractional differential equations, and to construct fast algorithms on high dimensional domains and numerical analysis. These methods have many advantages, such as faster computing speed, better stability, high accuracy and so on. They provide useful tools to study efficient spectral element methods.

谱配置法对于处理变系数或者非线性问题比谱Galerkin方法更有优势。但谱配置法微分矩阵的病态性质严重阻碍了谱配置方法的应用。如何构建新的插值函数系改善微分矩阵条件数、保持数值结果稳定性是科学计算的一大挑战。本项目首先研究无界区域上几类基于非标准型基函数的良态谱配置法和最优误差估计，继而通过求解微分方程构造新的插值基函数系，研究傅里叶化的谱配置法，并探讨在Helmholtz问题和分数阶微分方程求解中的应用，最后建立高维区域上谱配置法的快速算法和数值分析理论。这些新方法具有计算速度快、数值结果稳定、高精度等特点。它们的研究为高效谱元素法提供了有利的工具。

本项目的研究背景：谱配置法在处理变系数或非线性问题比谱Galerkin方法更有优势。但谱配置法微分矩阵的病态性质严重阻碍了谱配置法的应用。如何构建新的插值函数系改善微分矩阵条件数、 保持数值结果稳定性是科学计算的一大挑战。. 本项目的主要研究内容：无界区域上的良态配置法的理论、算法和应用，Fourier化的谱配置法的理论、算法和应用，分数阶微分方程的良态谱配置法的理论、算法和应用.. 本项目的重要研究结果：提出基于广义Jacobi函数节点的最优分数阶积分预处理的分数阶问题谱配置方法；利用有界区域（无界区域）上Birkhoff 插值的思想，构造了非多项式基函数，并提出新的有界区域（无界区域）二阶问题的谱配置方法；通过考察无界区域上线性代数系统的矩阵结构，构造全直线或半直线上的新的基函数，提出了高效时空谱方法；高阶问题的新时空谱方法和结构化谱元方法。. 本项目的科学意义：以上问题为当前国际上谱方法研究的若干前沿与困难问题。这些新算法和新的数值分析理论的建立大大发展了谱配置法，拓展了其应用领域，为科学和工程有关问题的数值模拟提供一些原创性的算法。