分数阶Copula算子最优化理论及其应用

Copula function is a tool connecting one dimensional marginal distribution function and joint distribution function. Many scholars have studied the construction， selection, parameter estimation, goodness-of-fit of Copula function. In this project, from the perspective of characteristic function, fractional Copula operator is proposed. It make traditional Copula function be a special case and popularizes Copula function theory. First The project gives the definition of fractional Copula operator. The properties such as linearity, reversibility, order superposition are studied. Then theoretically prove the existence of fractional Copula operator. Under the minimum mean square error,maximum likelihood, least square optimal criteria, use sequential uniform design in experimental design and information infusion, to find the best fractional order number fractional Copula function in different condition. Last fractional Copula operator theory is used in face recognition, image reconstruction, time-frequency analysis and other engineering problems. The results of computer simulation are given. And compare its results with existing research and establish evaluation criterion.

Copula函数是把多维随机向量的联合分布函数用其一维边际分布函数连接起来的函数。很多学者研究了Copula 函数的构造、选取、参数估计、拟合优度等问题。本项目基于已有的分数阶算子理论，从特征函数的角度提出分数阶Copula 算子，使传统的Copula 函数成为一个特例，从而推广了Copula 函数理论。项目首先给出分数阶Copula 算子的定义，并研究其线性性、可逆性、阶数可加性等。其次从理论上证明分数阶Copula 算子的存在性。针对分数阶Copula函数的选取与拟合优度问题，在最小均方误差、极大似然、最小二乘等优化准则下，利用试验设计中的序贯均匀设计与信息融合，求解不同条件下最优的分数阶阶数和分数阶Copula函数。最后将分数阶Copula算子理论应用于人脸识别、图象重建和时频分析等实际问题，给出相应的计算机仿真结果，并与现有的人脸识别、图像重建和时频分析结果比较，建立评价准则。

Copula函数是把多维随机向量的联合分布函数用其一维边际分布函数连接起来的函数。它不仅用于构造多维随机变量联合分布函数，同时也是探索随机变量之间相关结构的工具。很多学者研究了Copula 函数的构造、选取、参数估计、拟合优度等问题。项目基于已有的分数阶算子理论，从特征函数角度给出分数阶Copula算子的定义，并研究其线性、可逆性、阶数可加性等性质；其次从理论上证明分数阶Copula 算子的存在性。针对分数阶Copula函数的选取与拟合优度问题，在最小均方误差、最小二乘等优化准则下，利用试验设计中的序贯均匀设计与信息融合，求解不同条件下最优的分数阶阶数和分数阶Copula函数；函数构造方面，分析已有构造Copula方法的局限性, 提出了基于G类函数构造Copula函数的方法；生成元构造方面：分别从单边Laplace变换和双边Laplace变换、z变换出发构造生成元，从而构造新的copula函数；从应用角度，将分数阶Copula算子理论应用于人脸识别、图象重建；研究了双态乘性噪声、加性分数阶高斯噪声和周期信号联合驱动下的分数阶线性算子，利用分数阶傅里叶变换算子的线性、酉性、微分性等,将时域非周期 chirp 信号激励系统等价转化为最优分数阶傅里叶变换域上周期信号激励的线性系统,并利用S-L公式和Laplace变换在u域上实现系统一阶稳态响应的解析求解；将阿基米德Copula进行改进，构造非对称的加权混合阿基米德Copula模型来描述投资组合变量之间的相关特征；将多元Score test、Hotelling T2、改进时变Copula理论与分数阶Copula算子结合, 基于在线监控，监测Copula的某些质量特性的变动状况；基于阿基米德Copula函数对不同地区产业产值和交通路口流量进行尾部相关性分析，对产业与路口流量的极端情况进行分析。