二阶随机占优约束优化问题的高效数值算法、理论及其应用

The mathematic models for optimization problems with second-order stochastic dominance constraints were firstly provided by Dentcheva and Ruszczyński in 2003. They are closely contacted with the mathematical branch such as nonlinear programming,numerical algebra,the probability and statistics, matrix theory, etc., and they have a wide range of applications on the risk management in finance, energy, transportation and other areas. The main purpose of this project is to carry out the research on the efficient numerical algorithms, theories and applications of this problem. The main contents include: i)Analysis for the optimality condition,duality theory and sensitivity analysis for the relaxation approximation models with different probability measure. We expect to get optimal conditions which can be easily verified and make the relaxation approximation problems easily to solve; ii) Algorithms design and convegence analysis. We expect to get efficient algrithms which will have fast convergence rate, good stability and be suitable for large-scale problems; iii) Application in risk management models. We expect to get numerical procedures which can quickly and effectively solve the risk management models in portfolio investment and the power system. This study can promote the integration and cross of more theoretical branch of mathematics in numerical optimization problems, and it can give support to the numerical methods and procedure for practical problems. It has some innovation and higher value in application.

二阶随机占优约束优化问题是美国著名优化专家Dentcheva等在2003年提出的一类崭新的随机优化模型，它与非线性规划、数值代数、概率统计、矩阵理论等数学分支有着密切的联系，在金融、能源、交通等领域的风险管理中有着广泛的应用。本项目欲开展对这类问题的高效数值算法、理论及应用研究，主要内容有：1)不同概率测度下二阶随机占优约束优化问题的松弛近似模型的最优性条件、对偶理论及其灵敏度分析，期望得到易验证的最优性条件，并使得松弛近似模型易求解；2)二阶随机占优约束优化问题的高效数值算法设计及收敛性分析，期望得到收敛速度快、稳定性能好且适合大规模问题的算法和程序；3）二阶随机占优约束优化问题在风险管理中的应用研究，期望得到能快速、有效求解有关组合投资和电力系统风险模型的数值程序。本研究能促进多个数学分支在数值优化中的融合与交叉，为实际问题提供有力的方法和程序支撑，具有一定的创新性和较高的应用价值。

本项目围绕一类新的二阶随机占优约束优化问题的高效数值算法及其在经济决策和风险投资方面的应用展开研究，取得了以下主要研究成果：（1）研究了单阶段二阶随机占优约束组合投资风险优化模型的光滑化罚样本平均值（SAA）算法及其应用, 得到了SAA近似模型的最优性条件和依概率收敛性结果, 证明了光滑化算法的全局收敛性，数值测试验证了模型和算法的有效性。（2）研究了两阶段二阶随机占优约束风险优化问题的光滑化算法及其应用, 得到了两阶段问题的等价模型, 设计了光滑化罚样本平均值算法进行求解，并将模型和算法应用到了两阶段组合投资风险优化问题和两阶段供应链问题中。（3）建立更能符合实际情况的二阶随机占优约束保险资金资产组合优化模型的相关理论和求解方法，该方法能为保险公司的资产组合及最优投资比例提供了一种可借鉴的思路。（4）基于半光滑理论，建立了基于最优潮流电力系统节点边际电价的灵敏度计算公式，该公式能同时求出电价关于所有参变量的灵敏度，计算简单，为政府合理管理电价、应对电价风险提供了依据。（5）通过对比分析包括随机占优在内的所有风险度量方法，构建了基于CVaR的债券投资组合优化模型。采用历史模拟算法处理模型中的随机收益率向量，将随机优化模型转化为确定性优化模型，设计了求解模型的光滑化算法和线性规划算法，并做了实证分析。这两种算法都能有效地求解债券组合投资优化模型，为我国债券投资提供借鉴意义。（6）研究了联合概率约束风险优化问题的数值算法及应用。针对应急管理救援物资的运输问题，提出了用联合概率度量风险的优化模型，用CVaR近似联合概率约束，设计了光滑化样本平均值算法进行求解。针对企业再制造综合生产计划问题，构建了一个更符合实际的带联合概率约束的最优化模型，采用CVaR逼近将模型等价转化为凸优化模型，然后运用样本平均近似方法进行求解，证明了算法的收敛性，数值结果表明了模型和算法的有效性。（7）用随机优化理论和半定优化算法完成了对零售商定价、模糊规划建模、线性泛函方程求解等应用问题，推广了最优化数值计算方法在实际问题中的应用。 . 本项目共发表论文13篇，其中SCI论文2篇，EI论文2篇，Scopus论文1篇，CSSCI和CSCD论文各1篇，中文核心刊物论文5篇，省级期刊论文1篇，培养研究生5名，3名已经毕业，主持人在课题资助下完成统计学博士后研究工作。