基于退化扩散下的数字图像去噪和去模糊的理论与算法研究

Digital image denoising and deblurring has been always the key issue in the field of image processing for many years. It is of great significance in the aerospace, biomedical engineering, military guidance and cultural and art fields. This project considers a class of inverse image processing problems which are based on the degenerate diffusion. We mainly study the inverse problem of reconstructing.the original clear image from the observed blurry image with noise. Being different from the common isotropic heat conduction diffusion, the diffusion coefficient in our project is variable, and may degenerate to zero on the regional boundaries. This allows us to take account of anisotropic diffusion and slow diffusion, but it also brings essential difficulty for theoretical analysis and numerical simulation. Another difficulty in this project is that the mathematical model is an inverse backward problem of the two-dimensional parabolic equation,.whose ill-posedness degree is, in general, more higher than that of the one-dimensional case. Our work can be divided into two parts. In the theoretical part, we will study the regularity of solution for the forward problem, and then the uniqueness and conditonal stability of solution for the inverse problem. Correspondingly, on the basis of optimal control framework together with L2 and L1.pulishment term, the existence, uniqueness, stability and convergence for the solution of the optimization problem will be considered. In the numerical part, on the basis of theoretical analysis, we will design stable iteration algorithms, perform numerical experiments and do error analysis.

数字图像去噪和去模糊一直是图像处理领域的核心问题，在航空航天，生物医学工程，军事制导及文化艺术等领域具有重要意义。本项目考虑一类基于退化扩散下的图像处理反问题，主要研究利用模糊的且带噪的观测图像重构原始的清晰图像。与通常的基于各向同性的热传导扩散不同，这里的扩散系数是变化的，且允许在区域边界处退化为零。这使我们可以同时兼顾各向异性扩散和缓慢扩散两种情形，但同时也为理论分析和数值模拟带来了本质性困难。本项目中的另一难点在于这是一个二维抛物型方程的逆时问题，其不适定性程度往往比一维的情形更高些。我们的工作主要包括以下两个方面：1、理论方面：首先研究正问题的解的正则性，进而研究反问题的解的唯一性和条件稳定性，以及带L2和L1罚项的最优控制问题解的存在性，唯一性，稳定性和收敛性。2、数值模拟方面：在理论分析的基础上，设计稳定的迭代算法，进行数值试验，并作误差分析。

数字图像去噪和去模糊一直是图像处理领域的核心问题，在航空航天，生物医学工程，军事制导及文化艺术等领域具有重要意义。本项目考虑一类基于退化扩散下的图像处理反问题，主要研究利用模糊的且带噪的观测图像重构原始的清晰图像。与通常的基于各向同性的热传导扩散不同，这里的扩散系数是变化的，且允许在区域边界处退化为零。这使我们可以同时兼顾各向异性扩散和缓慢扩散两种情形，但同时也为理论分析和数值模拟带来了本质性困难。本项目中的另一难点在于这是一个二维抛物型方程的逆时问题，其不适定性程度往往比一维的情形更高些。..理论方面：我们首先利用偏微分方程理论讨论了正问题解的适定性，进而利用对数凸性方法，依据解的正则性，建立了初始图像的唯一性和条件稳定性。该条件稳定性关于测量数据是对数阶的，显示原问题的确是严重不适定的。这一结果在国际上还是首次得到。由于原问题的不适定性，我们利用优化方法将该问题转化为一个最优控制问题，并证明了控制泛函极小元的存在性、必要条件和唯一性。基于极小元所满足的必要条件与方程本身，我们提出了一个新的源项条件，该条件建立了极小元与真解之间的联系，利用逐项估计，最终证明了最优解的收敛性和收敛阶。..数值方面：我们首先基于有限体积方法建立了正问题解的差分计算格式，对退化边界条件分别给出了一阶和二阶差分逼近，并利用能量估计结合离散Gronwall不等式严格证明了差分格式的稳定性和收敛性。关于反问题的数值求解，我们基于Landweber 迭代和共轭梯度方法分别构造了迭代算法，并对两种类型的输入数据：二维函数和数字图像，都进行了数值模拟，给出了典型数值算例。数值结果表明我们的算法是快速且稳定的，无论是理想函数还是数字图像都重构得很好。..根据项目研究过程中发现的一些新的有趣现象，我们还研究了其他一些偏微分方程反问题。这些问题或与项目直接相关，或对项目的研究有很好的启示效果。