具退化系数的发展型方程多参数反演问题的正则化理论和算法研究

Degenerate evolutionary equations often arise in many fields of research, such as population prediction and control, porous media fluid mechanics, financial mathematics, etc. Some coefficients in these equations can not be measured directly and need to be identified by indirect methods, which is the inverse problem we shall study. This project studies the inverse problem of simultaneously reconstructing the initial value and source coefficient in degenerate parabolic equations using some additional conditions. Being different from ordinary inverse coefficient problems in parabolic equations, there exists degeneracy on part of boundaries in the mathematical model. On one hand, the degeneracy may lead to the corresponding boundary conditions missing; on the other hand, it can also cause that the solution of the equation has no sufficient regularity. Another difficulty in the project is that the initial value of the model is unknown, which is known to be a severely ill-posed problem. The degeneracy of the equation can not change such the essence. Our work can be divided into two parts. In the theoretical part, we will study the regularity of the solution of forward problem and then investigate the uniqueness and conditional stability of the solution for the inverse problem. Correspondingly, on the basis of Tikhonov regularization framework, the well-posedness of the optimal solution will be considered. In the numerical part, based on the theoretical analysis, we will design stable iteration algorithms, perform numerical experiments and do error analysis.

具退化系数的发展型方程常常出现在人口预测与控制，多孔介质流体力学，以及金融数学等研究领域中。这些方程中的部分系数往往不能直接观测到，需要用间接的手段来标定，这就是我们所要研究的反问题。本项目研究利用某些附加条件同时重构退化抛物型方程的初值和源项系数的反问题。与普通的抛物型方程系数反问题不同，这里的方程在部分边界存在退化。方程的退化性一方面会导致在定解域的部分边界可能会缺少边界条件，另一方面会导致方程的解可能没有足够的正则性。本项目中的另一困难是模型的初值是未知的，这是一个严重不适定问题，方程的退化性并不能改变这一实质。我们的工作主要包括以下两个方面：1、理论方面：首先研究正问题的解的正则性，进而研究反问题的解的唯一性和条件稳定性，以及基于Tikhonov正则化理论框架下的最优控制解的适定性。2、数值模拟方面：在理论分析的基础上，设计稳定的迭代算法，进行数值试验，并作误差分析。

具退化系数的发展型方程常常出现在人口预测与控制，多孔介质流体力学，以及金融数学等研究领域中。这些方程中的部分系数往往不能直接观测到，需要用间接的手段来标定，这就是我们所要研究的反问题。本项目研究利用某些附加条件同时重构退化抛物型方程的初值和源项系数的反问题。与普通的抛物型方程系数反问题不同，这里的方程在部分边界存在退化。方程的退化性一方面会导致在定解域的部分边界可能会缺少边界条件，另一方面会导致方程的解可能没有足够的正则性。本项目中的另一困难是模型的初值是未知的，这是一个严重不适定问题，方程的退化性并不能改变这一实质。.理论方面：我们首先利用Carleman 估计和对数凸性方法证明了原问题解的唯一性和条件稳定性。这一结果在国际上还是首次得到。由于原问题的不适定性，我们利用优化方法将原问题转化为一个最优控制问题，并建立了正则化解的存在性，必要条件和收敛性。由于控制泛函含有两个独立的未知函数，且二者的地位并不相同，我们无法应用抛物型方程的共轭理论，否则无法得到正则化解的全局唯一性。我们这里采用的是分项估计的方法，并通过对必要条件的细致分析，最终得到了正则化解的全局唯一性和稳定性。.数值方面：我们利用Landweber 迭代算法来求反问题的数值解，其中的关键是求出正问题算子的共轭算子的具体形式。然而，由于两个未知函数的相互耦合，我们很难直接看出共轭算子的结构。为此，我们采用算子分解方法，通过将正问题算子分解为四个独立的算子，并分别求出对应的共轭算子，最后再组合在一起而得到了正问题算子的共轭算子。我们还进行了数值实验，并给出了典型的具体算例。数值实验表明我们的算法是稳定而有效的，两个未知函数都重构得很好。.根据项目研究过程中发现的一些新的有趣现象，我们还研究了其他一些抛物型方程的系数反演问题。这些问题或与项目直接相关，或对项目的研究有很好的启示效果。.