高维图的自相似群作用

In this project we introduce the notion of self-similar group actions on higher-rank graphs and associate a C*-algebra to each action. We also investigate the properties of C*-algebras associated to self-similar group actions on higher-rank graphs. Finally we find connections between this class of C*-algebras and dynamical systems, number theory, and the famous Hilbert's Twelfth Problem.

本项目给出高维图的自相似群作用及其C*-代数的定义；研究高维图的自相似群作用C*-代数的性质；探索高维图的自相似群作用C*-代数与动力系统，数论以及著名的希尔伯特第十二问题的联系。

自相似性广泛存在于自然界中，它是分形几何的一个重要性质，自相似性的思想后来被引入到几何群论中。Nekrashevych构造了自相似群C*代数并利用算子代数的不变量方法来研究自相似群的性质。Exel与Pardo定义了自相似有向图C*代数。本项目的主要内容是研究范围更广的自相似高维图C*代数。本项目取得如下重要结果：1. 将有向图的自相似群作用的定义推广到高维图的自相似群作用并构造了自相似高维图C*代数。2. 在特定条件下，证明了自相似高维图C*代数同构于乘积系统的Cuntz-Pimsner代数与广群C*代数，并由此推出了自相似高维图C*代数是顺从的并满足万有系数定理。3. 在特定条件下，找到了自相似高维图C*代数为单核的充要条件。4. 当自相似高维图C*代数为单核时找到了自相似高维图C*代数为稳定有限与纯无限的充要条件，并证明了当自相似高维图C*代数为单核时自相似高维图C*代数一定时稳定有限或纯无限的。5. 在特定条件下，完全刻画出自相似高维图C*代数的KMS态空间及其拓扑结构。6. 在特定条件下，完全刻画出自相似高维图C*代数的本源理想及其Jacobson拓扑结构。本项目的科学意义：自相似高维图C*代数的构造不仅蕴含了几何群论与图论的信息，并且此类C*代数还与数论以及Yang-Baxter方程有着密切的联系。