赋予了对称群作用的辛流形的几何和拓扑

This project is to study the geometry and topology of symplectic manifolds and transversely symplectic foliated manifolds equipped with Hamiltonian Lie group actions. . Suppose a circle or a higher dimensional torus acts on a compact symplectic manifold in a Hamitonian fashion. Under some “minimal” condition, we will classify the group action, the integral cohomology ring and total Chern class of the manifold, and we will study how these data determine each other. Moreover, in good cases, we determine the equivariant diffeomorphism type and the equivariant symplectomorphism type of the manifold, and when the symplectic manifold is Kaehler, we determine its equivariant holomorphism type.. Moreover, we will study transversely symplectic foliated manifolds which admit generalized Hamiltonian Lie group actions, this will allow us to study the geometry, topology, and analysis of a big family of singular symplectic spaces. In particular, suppose a transversely symplectic foliated manifold is equipped with a“maximal” Hamiltonian torus action, we will construct a canonical Guillemin type metric on such a space.

此项目研究赋予了Hamiltonian李群作用的辛流形以及具有横截辛叶状结构的流形的几何与拓扑性质。. 假设圆周或环面以 Hamiltonian方式作用在一个紧致的辛流形上。 在一定的“极小”条件下，我们将研究李群如何作用，确定辛流形的整系数的上同调环及其陈类，以及这些量如何互相确定。在好的情形下，我们将确定流形的等变微分同胚类和等变辛微分同胚类，并且当辛流形是Kaehler流形时，我们将确定其等变全纯类。. 另外，我们将研究具有横截性辛叶状结构的流形上的广义Hamiltonian 李群作用， 通过它来研究一大类奇异辛空间的几何，拓扑以及分析性质。特别地，假设在一个具有横截性辛叶状结构的流形上赋予了一个极大环面的Hamiltonian 作用，我们将在这个流形上构造一个典则的Guillemin 型度量。

赋予了对称群作用的辛流形是一个重要方向，它在理论上和应用上都很有意义。此方向与动力系统和数学物理都有不可分割的联系。我们主要关心赋予了 Hamiltonian 李群作用的辛流形---我们研究这类流形的几何和拓扑特性。在我们的研究中，我们主要运用微分几何和代数或微分拓扑的工具。下面我们对此项目研究的具体问题做一个简要概述： 1.我们考虑一个赋予了Hamiltonian圆周作用或Hamiltonian环面作用的辛流形，假设其上的不动点集满足某种极小条件或满足某种几乎极小条件，我们研究此李群如何作用，我们确定流形的整系数的上同调环，我们确定流形的总的陈类。更进一步，在比较好的情形下，我们确定流形的等变辛微分同胚类。此项目关于这个课题的科研成果主要围绕这些几何和拓扑量所做的结论。 2.我们也考虑更广意义上的Hamiltonian系统---赋予了Hamiltonian李群作用的具有横截辛结构的叶状流形。 Hamiltonian 辛流形 和切触流形都是这类更广意义的Hamiltonian系统的特殊例子。在此项目的研究中，我们的贡献主要在于确定这类流形的基本群, 商空间的基本群以及所有 广义辛商空间的基本群。我们找到使得矩映射的像集具有某种凸性的条件。我们计划对这类流形进行更多的研究，并与 Hamiltonian 辛流形进行对比。