Haken流形的判定及virtually Haken猜想

此项目主要研究三维流形中的不可压缩曲面，试图找出这一类曲面存在的新的且较容易验证的充分或充要条件，同时将所得结果应用于Virtually Haken猜想的研究。在对传统的Heegaard分解进行常规研究的基础上，尝试用Whitehead图等新手段和方法进行深入和细化的分析。基本想法是结合传统的Dehn手术理论、Heegaard分解理论及多柄添加理论，发现他们与Virtually Haken猜想之间的内在联系。整个研究过程既遵循了传统的研究方向又在此基础上另辟蹊径，融合了多种理论，阐明了其间的关系。此项目的研究结果将很大程度上改善原有的经典理论-Casson和Gordon关于Heegggrd分解及不可压缩曲面的定理的结果，从而为Heegaard分解及不可压缩曲面的研究开辟一个新天地，同时将在Virtually Haken猜想的研究上取得实质性进展。

本项目主要结合三维流形Heegaard分解、Dehn手术及Whitehead图等理论来研究不可压缩曲面进而在Virtually Haken猜想（Virtually Haken定理）的研究上取得了一定的进展。长久以来，不可压缩曲面一直是低维拓扑学研究的重点之一。在众多关于不可压缩曲面的成果中，具有划时代意义的归属于Casson和Gordon：对于一个闭三维流形，如果这个流形有一个非强不可约的Heegaard分解，那么要么这个Heegaard分解是可约的，要么这个三维流形是Haken的（即含有不可压缩曲面）。本项的主要研究成果之一对这一经典理论进行了新颖而深入的分析并应用于Virtually Haken猜想的研究，受到了国内外专家的认可和好评。与此同时，申请人还积极的对本项目相关领域的热点问题进行了深入的研究，并取得了可喜的成绩，其中包括对拓扑量子场论中量子不变量的研究及对同伦理论与纽结理论交叉领域的研究等。