集值极大极小问题与集值博弈问题研究

The study on minimax problem and game problem is an important research area of optimization theory. The objective value of minimax problems and payoff value of game problem for single-valued functions are a real number or a vector. However, it is difficult to know the exact values of objective and payoff owing to some unexpected situations. We can only give an estimate of values in general. Thus, the corresponding objective function and payoff function become a set-valued function. By virtue of the tools and methods in nonlinear analysis and set-valued analysis, the project shall study the minimax theorem of set-valued mappings, Ky Fan minimax theorem of set-valued mappings and mountain pass lemma of set-valued mappings. Under the framework of set-valued mappings, shall seek new relationships among the corresponding fixed point theorem, variational inequality problem, FKKM theorem and Ekeland’s variational principle. In addition, by using the minimax theorem of set-valued mappings, we shall study the existence theorems of solutions for zero-sum and non-zero-sum games with set payoff. The research contents have important theoretical foundation for set game problems.

极大极小问题与博弈问题是最优化理论的重要研究内容。单值函数的极大极小问题的目标值和博弈问题的支付值是一个数或者一个向量。然而，受一些不确定因素的影响，要想精确地计算出这个数值或者这组数值是比较困难的，一般仅仅能给出这个精确值或者这组精确值的一个大概的范围。这时，相应极大极小问题的目标函数和博弈问题的支付函数变为一个集值映射。本课题拟借助非线性分析和集值分析的工具和方法，分别研究集值函数的极大极小定理、Ky Fan极大极小定理与山路引理。在集值函数的框架下，寻求其与相应的不动点定理、变分不等式问题、FKKM定理与Ekeland变分原理之间新的关系。同时，利用集值函数的极大极小定理，研究集值零和博弈问题与集值非零和博弈问题解的存在性定理，为多值博弈问题的研究提供重要的理论基础。

本项目主要研究集值映射的极大极小问题与集值博弈问题。本项目主要研究内容有：集值极大极小定理、Ky Fan极大极小定理、集支付博弈问题Nash均衡点与合作均衡点研究、集支付的极小极大后悔均衡点研究等。主要结果有：利用Ky Fan截口定理和线性、非线性标量化函数，分别研究了集值映射的广义的极大极小定理。然后，分别利用得到的集值映射的极大极小定理和包含假设得到了新的集值向量均衡问题解的存在性结果；利用Kakutani-Fan-Glicksberg不动点定理，首先在局部凸的Hausdorff拓扑线性空间中研究了有限个博弈者的标量集支付博弈问题Nash均衡点的存在性结果，再通过一类非线性标量化函数，得到了有限个博弈者的向量集支付的博弈问题Nash均衡点的存在性结果。同时，研究了标量集支付的极小极大后悔均衡点的存在性结果。研究了当每一个博弈者的决策集被其他的博弈者扰动后的广义标量集支付的极小极大后悔均衡点的存在性结果；首先利用广义的Scarf定理，研究了有限个博弈者的集支付意义下的合作均衡点的存在性结果。然后，利用有限个博弈者的存在性结果和有限交性质，研究了无穷个博弈者集支付意义下合作均衡点的存在性。最后，得到了当集支付函数和决策行为集受参数扰动后参数合作均衡点的上、下半连续性。所得到的集值映射的极大极小定理和博弈问题的结果都是新的，其中集值映射的Nash均衡点和合作均衡点、极小极大后悔均衡点都是原创的结果。这些结果丰富和完善了单值映射极大极小理论和博弈理论，为多值博弈问题的进一步研究提供重要的理论基础。基于上述成果，共完成论文8篇，已在国际知名SCI源期刊发表或在线发表2篇，中文T3期刊1篇，Ei期刊1篇，拟投稿4篇，均已进行标注；依托本项目，负责人于2021年晋升教授职称，入选云南省兴滇英才青年人才；培养硕士4人，毕业1人。