与高维Willmore猜想相关的子流形的几何与分析

This project mainly study geometry and analysis about three types of submanifolds closely related to the higher-dimensional Willmore conjecture:.1. Use the eigenpolynomial of the Moebius second fundamental form with respect to the Moebius metric to define Newton transforms and the second-order differential operators. Calculate the first variation formulas and the second variation formulas of generalized Willmore functionals using Moebius invariants. Then use the Moebius geometry method to study W_r-minimal submanifolds and construct new examples..2. Generalize the conformal constrained variation of surfaces to the conformal constrained variation of submanifolds. Consider the conformal constraint variation of Willmore functional. Calculate the equations to be satisfied for constrained Willmore submanifolds and consider the second variational formula of Willmore functional under conformal constraint variation..3. Investigate the local geometry and the global geometry of submanifolds with vanishing conformal invariant A ̃ . Discuss the classification problem and the spelling phenomenon.

本课题主要研究三类与高维Willmore猜想密切相关的子流形的几何和分析：.1、利用Moebius第二基本形式关于Moebius度量的特征多项式定义牛顿变换和二阶微分算子，计算广义Willmore泛函用Moebius不变量刻画的第一变分公式和第二变分公式，从而用Moebius几何的方法考察W_r-极小子流形，构造W_r-极小子流形的新例子。.2、把曲面的共形约束变分推广到子流形的共形约束变分，考察Willmore泛函的共形约束变分，计算约束Willmore子流形所应满足的方程。同时考虑Willmore泛函在共形约束变分下的第二变分公式。.3、考察具有消失共形不变量A ̃的子流形的局部几何和整体几何，探讨其分类问题和拼挤现象。

本项目围绕与高维Willmore猜想相关的子流形的几何与分析展开，首先关注到由共形不变量Blaschke张量和Moebius第二基本形式构造出的共形不变量A ̃，具有消失A ̃的子流形包括了我们已知的大部分的Willmore子流形的例子，我们研究球中具有消失A ̃的超曲面，得到分类定理，证明了球中无脐点的具有消失A ̃的Willmore超曲面局部上Moebius等价于Willmore环，得到关于紧致Willmore超曲面的积分不等式，刻画了紧致Willmore超曲面关于Moebius不变量的拼挤现象，给出了Willmore环的本质刻画。其次，我们研究了4维球中具有消失Moebius形式的超曲面,得到了分类定理,证明得到4维球中共形高斯曲率调和的无脐点超曲面局部上Moebius等价于四维空间形式中具有常纯量曲率的极小超曲面或者四维欧氏空间中Clifford极小环作锥得到的超面面之一。然后，我们探究W_r-极小子流形的稳定性和整体几何，得到广义Willmore泛函用Moebius不变量刻画的第一变分公式和第二变分公式等。